これから \(M\) を \(n\) 回強制拡大をすることによりモデルの拡大列 \(M=M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n\) を得て、 \(M_n\) が所望の性質を持つものとして構成する．
それには， \(i\) 回目の強制拡大で強制半順序 \(\mathbb{P}_i = \textrm{Fn}(\lambda_{n-i+1} \times \kappa_{n-i+1}, 2 ,\kappa_{n-i+1})^{M_{i-1}}\) を用いればよい．なお，各拡大において選択するジェネリックフィルターは任意のものをとればよい．\(1\) 回目の強制では \(\mathbb{P}_{1} = \textrm{Fn}(\lambda_{n} \times \kappa_{n}, 2 ,\kappa_{n})^{M_{0}}\) を使う． \((\textrm{GCH})^{M_0}\) と \((\textrm{cf}(\lambda_n) > \kappa_n)^{M_0}\) から， \(( 2^{<\kappa_{n}}=\kappa_{n} \land \kappa_{n}<\lambda_{n} \land {\lambda_{n}}^{\kappa_{n}}=\lambda_{n} )^{M_{0}}\) である． \(G_{1}\) を \(M_{0}\) 上 \(\mathbb{P}_{1}\)-ジェネリックフィルターとし， \(M_{0}[G_{1}]=M_{1}\) とおく．定理6.17により， \((2^{\kappa_{n}}=\lambda_{n})^{M_{1}}\) であり，かつ， \(\mathbb{P}_{1}\) は基数を保存する．
整数 \(i\) を \(2 \leq i \leq n\) なるものとして， \(i-1\) 回の強制拡大により \(M_{i-1}\) が構成されているとする．それまでに行われた各 \(k\) 回目の強制拡大では強制半順序 \(\mathbb{P}_k = \textrm{Fn}(\lambda_{n-k+1} \times \kappa_{n-k+1}, 2 ,\kappa_{n-k+1})^{M_{k-1}}\) が用いられているものとする．さらに， \(n-i+2 \leq l \leq n\) なる全ての \(l\) に対して \((2^{\kappa_l}=\lambda_l)^{M_{i-1}}\) が成り立っているとする．\(i\) 回目の強制では \(\mathbb{P}_i = \textrm{Fn}(\lambda_{n-i+1} \times \kappa_{n-i+1}, 2 ,\kappa_{n-i+1})^{M_{i-1}}\) を使う． \(1 \leq k \leq i-1\) なる各 \(k\) について， \(M_{k-1}\) において \(\mathbb{P}_k\) が \(\kappa_{n-i+2}\)-閉であり，また， \(\mathbb{P}_k\) は基数を保存するので， \[ (^{<\kappa_{n-i+1}}2)^{M_{i-1}} = (^{<\kappa_{n-i+1}}2)^{M_{i-2}} = \ldots = (^{<\kappa_{n-i+1}}2)^{M_{0}} \land (2^{<\kappa_{n-i+1}} = \kappa_{n-i+1})^{M_{0}} \] であり，また， \[ (^{\kappa_{n-i+1}}\lambda_{n-i+1})^{M_{i-1}} = (^{\kappa_{n-i+1}}\lambda_{n-i+1})^{M_{i-2}} = \ldots = (^{\kappa_{n-i+1}}\lambda_{n-i+1})^{M_{0}} \land ({\lambda_{n-i+1}}^{\kappa_{n-i+1}} = \lambda_{n-i+1})^{M_{0}} \] である．また， \((\textrm{cf}(\lambda_{n-i+1}) > \kappa_{n-i+1})^{M_0}\) から， \((\lambda_{n-i+1} > \kappa_{n-i+1})^{M_{i-1}}\) である．よって， \[ \Big( 2^{<\kappa_{n-i+1}}=\kappa_{n-i+1} \land \kappa_{n-i+1}<\lambda_{n-i+1} \land {\lambda_{n-i+1}}^{\kappa_{n-i+1}}=\lambda_{n-i+1} \Big)^{M_{i-1}} \] である． \(G_{i}\) を \(M_{i-1}\) 上 \(\mathbb{P}_{i}\)-ジ ェネリックフィルターとし， \(M_{i-1}[G_{i}]=M_{i}\) とおく．定理6.17により， \((2^{\kappa_{n-i+1}}=\lambda_{n-i+1})^{M_{i}}\) であり，かつ， \(\mathbb{P}_{i}\) は基数を保存する．
また， \(n-i+2 \leq l \leq n\) なる \(l\) に対して， \(M_{i-1}\) における \(\kappa_l\) の部分集合の都合のよい \(\mathbb{P}_{i}\)-名前は多くとも( \(\mathbb{P}\) の反鎖の個数が \(\lambda_{n-i+1}\) 個以下なので， \({\lambda_{n-i+1}}^{\kappa_l} \leq {\lambda_{n-i+2}}^{\kappa_l} = {(2^{\kappa_{n-i+2}})}^{\kappa_l} = 2^{\kappa_l}=\) ) \(\lambda_l\) 個しかない．よって， \(M_i\) において \(2^{\kappa_l} \leq \lambda_l\) が成り立つ．また \(M_i\) において \(2^{\kappa_l} \geq \lambda_l\) が成り立つことは \((2^{\kappa_l}=\lambda_l)^{M_{i-1}}\) から明らかである．よって， \(n-i+1 \leq l \leq n\) なる全ての \(l\) に対して \((2^{\kappa_l}=\lambda_l)^{M_{i}}\) が成り立つ．
以上により， \(M_n\) は \(M\) と同じ基数をもち， \(1 \leq i \leq n\) なる全ての \(i\) に対して \((2^{\kappa_i}=\lambda_i)^{M_{n}}\) が成り立つ．