第VII章 演習問題 [G7]

まず，補題を用意する．

(補題) : \(\mathbb{Q} \in M\) が \(M\) において可算な半順序であったとする．\(H\) を \(M\) 上 \(\mathbb{Q}\)-ジェネリックフィルターとする．このとき，\(\exists h \in ( ^\omega \omega )^{M[H]} \forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* h )\) は成り立たない．

(証明) : 示すべきことに反して，\(\forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* h )\) となる \(h \in ( ^\omega \omega )^{M[H]}\) が存在したとする．この \(h\) を固定し，\(\dot{h}_H = h\) となる \(\dot{h} \in M^{\mathbb{Q}}\) をとる．\(W = ( ^\omega \omega )^M\) とおく．\(W \in M\) である．\(M[H]\) において，\(\forall f \in W ( f <^* h )\) が成り立っているので，\(p \in H\) を \(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{h} : \check{\omega} \longrightarrow \check{\omega} \wedge \forall f \in \check{W} ( f <^* \dot{h} )\) であるものとする．\(\mathbb{Q}\) が可算なので，\(\{ q \in \mathbb{Q} : q \leq p \} = \{ r_j : j \in \omega \}\) とおいて整列する．各 \(n\) について \(E_n = \{ l \in \omega : \exists j < n ( r_j \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{l} < \dot{h}(\check{n}) ) \}\) とする．\(E_n \in M\) であり，かつ \(E_n\) は有限集合である．(もし，\(E_n\) が無限集合になるようなことがあったとすれば，ある \(j < n\) と，無限個の \(l \in \omega\) について，\(r_j \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{l} < \dot{h}(\check{n})\) であることになるが，これは \(r_j \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{h} : \check{\omega} \longrightarrow \check{\omega}\) に反する．)

\(f(n) = \max{(E_n)}+1\) と定義する．\(f \in W\) である．\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{f} <^* \dot{h}\) であるので，\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \exists m \in \check{\omega} \forall n \geq m ( \check{f}(n) < \dot{h}(n) )\) である．系3.7.(d)により，\(q \leq p\) と \(m \in \omega\) を \(q \,{\|\kern-0.40em-}\, \forall n \geq \check{m} ( \check{f}(n) < \dot{h}(n) )\) であるようにとる．\(q \leq p\) なので，\(q = r_j\) なる \(j \in \omega\) をとる．\(n \in \omega\) を \(n > j \wedge n > m\) なるものとしてとる．\(f(n)=t\) とおくと，\(r_j \,{\|\kern-0.40em-}\, ( \check{t} < \dot{h}(\check{n}) )\) であるから，\(t \in E_n\) である．しかし，\(f\) の定義により，\(\max{(E_n)}<f(n) = t\) なのでこれは矛盾である．よって，\(\exists h \in ( ^\omega \omega )^{M[H]} \forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* h )\) は成り立たない．

本題の証明を始める．

\(M\) がCHを満たすので，\((| ^\omega \omega| = \aleph_1)^M\) である．\(\mbox{Fn}(I,2)\) は \(M\) においてc.c.c.を満たし，基数を保存するので，\((| ( ^\omega \omega)^M |= \aleph_1 )^{M[G]}\) である．

第II章演習問題[8]によると，\(\exists g \in ( ^\omega \omega )^{M[G]} \forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* g )\) が成り立たなければ，\(M[G]\) においてMA \((\omega_1)\) が成り立たなくなる．

よって，\(\exists g \in ( ^\omega \omega )^{M[G]} \forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* g )\) が成り立たないことを示せばよい．

示すべきことに反して，\(\forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* g )\) となる \(g \in ( ^\omega \omega )^{M[G]}\) が存在したとする．

\(\dot{g} \in M^{\mbox{Fn}(I,2)}\) を \(\dot{g}_G=g\) となる名前で，\((\omega \times \omega)^{\check{}}\) の部分集合の都合のよい名前であるものとする．\(\dot{g}\) は \(\pi \in \mbox{dom}((\omega \times \omega)^{\check{}} \, )\) に対して，\(\mbox{Fn}(I,2)\) の \(M\) に属する反鎖 \(A_\pi\) を上手くとることにより， \[ \dot{g}=\bigcup \Big\{ \{ \pi \} \times A_\pi : \pi \in \mbox{dom}((\omega \times \omega)^{\check{}} \, ) \Big\} \] と表せる．各 \(\pi \in \mbox{dom}((\omega \times \omega)^{\check{}} \, )\) はそれぞれ \(\omega \times \omega\) のある元 \(x\) についての \(\check{x}\) として得られるものである．よって，各 \(\pi \in \mbox{dom}((\omega \times \omega)^{\check{}} \, )\) を構成するのに使われている \(\mbox{Fn}(I,2)\) の要素は最大元 \(\emptyset\) のみである．\(\mbox{dom}((\omega \times \omega)^{\check{}} \, )\) が \(M\) において可算であることと，各 \(A_\pi\) が \(M\) において可算であることから，\(\dot{g}\) を構成するのに使われている \(\mbox{Fn}(I,2)\) の要素は，( \(\emptyset\) を含めて) \(M\) において可算個しかない．そこで，その \(\dot{g}\) を構成するのに使う \(\mbox{Fn}(I,2)\) の要素全体の集合を \(S\) とする．\(\mbox{Fn}(I,2)\) の元は有限部分関数なので，\(K=\bigcup \{ \mbox{dom}(q) : q \in S \}\) とおけばこれは \(M\) における可算集合であり，\(\dot{g} \in M^{\mbox{Fn}(K,2)}\) である．また，\(\mbox{Fn}(K,2)\) は \(M\) において可算な半順序である．

補題7.3.(b)により，\(\mbox{Fn}(K,2) \subset_c \mbox{Fn}(I,2)\) である．\(H = G \cap \mbox{Fn}(K,2)\) とおく．定理7.5.により，\(H\) は \(M\) 上 \(\mbox{Fn}(K,2)\)-ジェネリックであり，\(M[H] \subset M[G]\) である．\(\dot{g} \in M^{\mbox{Fn}(K,2)}\) であって，\(H = G \cap \mbox{Fn}(K,2)\) であるので，\(g = \dot{g}_G = \dot{g}_H \in M[H]\) である．先ほど示した補題により，\(\forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* g )\) は成り立たない．しかしこれは \(g\) の取り方に反する．

よって，\(\exists g \in ( ^\omega \omega )^{M[G]} \forall f \in ( ^\omega \omega )^M ( f <^* g )\) は成り立たない．