\(f:\kappa \longrightarrow \kappa\) を \(\forall \alpha < \kappa(\alpha < f(\alpha) \in C)\) なるようにとる．補題6.8により，\(F \in M\) を \(F : \kappa \longrightarrow \mathcal{P}(\kappa)\) かつ \(\forall\alpha<\kappa\big(\,f(\alpha) \in F(\alpha) \land (| F(\alpha) | < \kappa )^{M}\,\big)\) なるようにとる．ここで，\(g : \kappa \longrightarrow \kappa\) を \(g(\alpha) =\sup(F(\alpha))\) で定め，\(C' = \{ \beta <\kappa\,:\,\beta\;\)は極限順序数\(\;\land\;\beta\;\)は\(\;\{g\}\)のもとで閉じている\(\}\) とする．このとき，\(C' \in M\) である．また，第II章の補題6.8(a)と第II章補題6.13から \(C'\) はc.u.b.である．
\(C' \subset C\) であることを示す．
\(\beta \in C'\) とする． \(C\) が \(\kappa\) においてc.u.b.であるから，\(C \cap \beta\) が \(\beta\) の中で非有界であることを示せば \(\beta \in C\) であることが導かれる．任意の \(\gamma < \beta\) に対して \(f(\gamma)\) は， \(\gamma < f(\gamma) \leq g(\gamma) \in \beta\) であり， \(f(\gamma) \in \beta \cap C\) を満たす．よって \(C \cap \beta\) が \(\beta\) の中で非有界であるので， \(\beta \in C\) すなわち， \(C' \subset C\)である．
よって，この \(C'\) が求めるべきものであった．