\(\mathbb{P}\)が\(\omega_1\)を準内径とする場合.
まず, \(\mathbb{P}\)がc.c.c.を満たすので\(\omega_1^M = \omega_1^{M[G]}\)である. このことから, \(\omega_1\)が\(M\)のものであるか\(M[G]\)のものであるかは気にしないで議論してよい. 対偶命題を示す.
\(T \in M\)が\(M[G]\)において\(\omega_1\)-ススリン木でないとする. このとき, \(M[G]\)に\(T\)のサイズ\(\omega_1\)の反鎖か, サイズ\(\omega_1\)の鎖がある.
前者の場合. \(p \in \mathbb{P}\)と\(\dot{f} \in M^\mathbb{P}\)を\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, (\dot{f} : \check{\omega}_1 \longrightarrow \check{T}\) は単射かつ \(\{ \dot{f}(\alpha) : \alpha < \check{\omega}_1 \}\) は反鎖\()\)となるようにとる. 各\(\alpha < \omega_1\)に対して\(p_\alpha \leq p\)と\(x_\alpha \in T\)を\(p_\alpha \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{f}(\check{\alpha}) = \check{x}_\alpha\)となるようにとる. \(\mathbb{P}\)が\(\omega_1\)を準内径とするので, サイズ\(\omega_1\)の\(X \subset \omega_1\)を\(\{ p_\alpha : \alpha \in X \}\)が有限交叉性を持つようにとる. \(\{ x_\alpha : \alpha \in X \} \in M\)が\(T\)の反鎖であることを示す. 異なる二つの元\(\alpha, \beta \in X\)を任意にとる. \(p_\alpha\)と\(p_\beta\)は両立するので, \(q \in \mathbb{P}\)を\(\{p_\alpha, p_\beta\}\)の下界とする. このとき, \(q \,{\|\kern-0.40em-}\, (\check{x}_\alpha\) と \(\check{x}_\beta\) は両立しない\()\)が成り立つ. よって, \(x_\alpha\)と\(x_\beta\)は両立しない.
後者の場合. これは前者の場合とほぼ同様である. \(p \in \mathbb{P}\)と\(\dot{f} \in M^\mathbb{P}\)を\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, (\dot{f} : \check{\omega}_1 \longrightarrow \check{T}\) は単射かつ \(\{ \dot{f}(\alpha) : \alpha < \check{\omega}_1 \}\) は \(<_T\) の上昇列\()\)となるようにとる. 各\(\alpha < \omega_1\)に対する\(X \subset \omega_1\), \(x_\alpha \in T\)と\(X \subset \omega_1\)を先ほどと全く同様にとる. \(\{ x_\alpha : \alpha \in X \} \in M\)が\(M\)の鎖であることを示す. 異なる二つの元\(\alpha, \beta \in X\)を任意にとる. \(\alpha < \beta\)とする. \(p_\alpha\)と\(p_\beta\)は両立するので, \(q \in \mathbb{P}\)を\(\{p_\alpha, p_\beta\}\)の下界とする. このとき, \(q \,{\|\kern-0.40em-}\, (\check{x}_\alpha <_T \check{x}_\beta)\)が成り立つ. よって, \(x_\alpha <_T x_\beta\)である.
\(\mathbb{P}\)が\(\omega_1\)-閉である場合.
まず, \(\omega_1^M = \omega_1^{M[G]}\)であるから, 先ほどと同様\(\omega_1\)が\(M\)のものであるか\(M[G]\)のものであるかは気にしないで議論してよい. 先と同様に対偶命題を示す. \(T \in M\)が\(M[G]\)において\(\omega_1\)-ススリン木でないとする. このとき, \(M[G]\)に\(T\)のサイズ\(\omega_1\)の反鎖か, サイズ\(\omega_1\)の鎖がある.
前者の場合. \(p \in \mathbb{P}\)と\(\dot{f} \in M^\mathbb{P}\)を\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, (\dot{f} : \check{\omega}_1 \longrightarrow \check{T}\) は単射かつ \( \{ \dot{f}(\alpha) : \alpha < \check{\omega}_1 \}\) は反鎖\()\)となるようにとる. \(\alpha<\omega_1\)に対する\(p_\alpha \leq p\), \(x_\alpha \in T\)を次の帰納法で定める:
\(p_0 \leq p\)と\(x_0\)は\(p_0 \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{f}(\check{0}) = \check{x}_0\)となるものを一つ定める. \(0 < \alpha < \omega_1\)とする, 全ての\(\beta < \alpha\)に対して\(p_\beta\), \(x_\beta\)が定まっているとして,
(i) \(\alpha\)が後続型順序数の場合, \(p_\alpha \leq p_{\alpha-1}\)と\(x_\alpha\)を\(p_\alpha \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{f}(\check{\alpha}) = \check{x}_\alpha\)となるようにとり, 定める.
(ii) \(\alpha\)が極限順序数の場合, \(\mathbb{P}\)が\(\omega_1\)-閉であることを用いて, \(\forall \beta < \alpha(p'_\alpha \leq p_\beta)\)なる\(p'_\alpha \in \mathbb{P}\)をとり, \(p_\alpha \leq p'_\alpha\)と\(x_\alpha\)を\(p_\alpha \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{f}(\check{\alpha}) = \check{x}_\alpha\)となるようにとり, 定める.
このとき, \(\{ x_\alpha : \alpha < \omega_1 \} \in M\)が\(T\)の反鎖であることを示す. 相異なる\(\alpha, \beta \in \omega_1\)を任意にとる. \(\alpha < \beta\)とする. このとき, \(p_\beta \,{\|\kern-0.40em-}\, (\check{x}_\alpha\) と \(\check{x}_\beta\) は両立しない\()\)が成り立つ. よって, \(x_\alpha\)と\(x_\beta\)は両立しない.
後者の場合. これも前者の場合とほぼ同様である. \(p \in \mathbb{P}\)と\(\dot{f} \in M^\mathbb{P}\)を\(p \,{\|\kern-0.40em-}\, (\dot{f} : \check{\omega}_1 \longrightarrow \check{T}\) は単射かつ \(\{ \dot{f}(\alpha) : \alpha < \check{\omega}_1 \}\) は \(<_T\) の上昇列\()\)となるようにとる. 各\(\alpha < \omega_1\)に対する\(p_\alpha \leq p\), \(x_\alpha \in T\)を先ほどと全く同様にとる. \(\{ x_\alpha : \alpha < \omega_1 \} \in M\)が\(M\)の鎖であることを示す. 相異なる\(\alpha, \beta \in \omega_1\)を任意にとる. \(\alpha < \beta\)とする. このとき, \(p_\beta \,{\|\kern-0.40em-}\, (\check{x}_\alpha <_T \check{x}_\beta)\)が成り立つ. よって, \(x_\alpha <_T x_\beta\)である.
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