第VII章 演習問題 [H11]

(i) \(\mathbb{P}\) は \(\omega_1\)-閉である：

これは長さが可算であるような \(\mathbb{P}\) の単調減少列 \(\langle p_n : n < \omega \rangle\) についてのみ考えればよい。今そのような列が任意に与えられたとき、\(\bigcup_{n < \omega} p_n\) はまた木である。その高さを \(\mathrm{ht}(p_n) = \alpha_n\) とおく。

次に各 \(s \in \bigcup_{n < \omega} p_n\) について \(f(s, n) \in p_n\) を、\(s \in p_n\) ならば \(f(s, n) \in \mathrm{lev}_{\alpha_n}(p_n)\)、そうでないなら \(f(s, n) = \emptyset\) とし、さらに \(n < m\) ならば必ず \(f(s, n) \subseteq f(s, m)\) が成り立つようにする。

このとき \[ q = \bigcup_{n < \omega} p_n \cup \left\{ \bigcup_{n < \omega} f(s, n) : s \in \bigcup_{n < \omega} p_n \right\} \] とすれば、これは高さが \(\lim_{n \to \omega} \alpha_n + 1\) であるような木で、\(q \in \mathbb{P}\) を満たす。

(ii) \(\mathbb{P}\) は \(\omega_2\)-閉でない：

\(\omega_1\)-アロンシャイン木は存在するから、第II章[34]より \(2^{<\omega_1}\) の部分木であるような \(\omega_1\)-アロンシャイン木もまた存在する。

これを各 \(\alpha < \omega_1\) と \(s \in 2^\alpha \cap T\) が \(s^\smallfrown \langle 0 \rangle, s^\smallfrown \langle 1 \rangle \in T\) を満たすように拡張し、各可算極限順序数 \(\alpha\) に対して \(p_\alpha = 2^{\le \alpha} \cap T\) とすれば、\(\mathbb{P}\) の減少列 \(\langle p_\alpha : \alpha < \omega \land \alpha \text{ は極限順序数} \rangle\) は \[ \forall \alpha\, \exists q \le p_\alpha\, q \in \mathbb{P} \] を満たすような \(q\) を持たない。