第VII章 演習問題 [H13]

\(\kappa\) より小さい順序数に関する超限帰納法により示すが、以下に書く操作もまた帰納的にされているものとしてよい。

\(\alpha < \kappa\) に対して開稠密集合 \(D_\xi\, (\xi < \alpha)\) があって、\(p_\xi \in D_\xi\) を満たすような \(\mathbb{P}\) の単調減少列 \(\{p_\xi : \xi < \alpha\}\) が与えられているとする。

\(\alpha\) が後続順序数の場合は明らかなので、極限順序数の場合のみ示す。

今、各 \(s \in \bigcup_{\xi < \alpha} p_\xi\) について \(f(s, \xi) \in p_\xi\) を、\(s \in p_\xi\) ならば \(f(s, \xi) \in \mathrm{lev}_{\alpha_\xi}(p_\xi)\)、そうでないなら \(f(s, \xi) = \emptyset\) とし、さらに \(\xi < \zeta\) ならば必ず \(f(s, \xi) \subseteq f(s, \zeta)\) が成り立つようにする（帰納法の仮定によりこれは可能である）。

こうして \[ q = \bigcup_{\xi < \alpha} p_\xi \cup \left\{ \bigcup_{\xi < \alpha} f(s, \xi) : s \in \bigcup_{\xi < \alpha} p_\xi \right\} \] とすれば、これはすべての \(D_\xi\) に属する。