第VII章 演習問題 [H14]

\(\mathbb{P}\)-名前 \(\Gamma\) を \[ \mathbb{1} \Vdash \Gamma = \bigcup \{\check{p} : \check{p} \in \dot{G}\} \] を満たすようなものだとする. このとき \(\Gamma^G\) は \(2^{<\kappa}\) の部分木になる. これが \(M[G]\) 上でススリン木であることを示すが, 実は \(\Gamma^G\) が濃度 \(\kappa\) の反鎖を持たないことだけが証明できれば良い. というのも, もし \(f \in 2^\kappa\) に対して \(\Gamma\) の鎖 \(\{f \hspace{-0.08cm} \upharpoonright \hspace{-0.08cm} \alpha : \alpha < \kappa\}\) が得られたなら, \(\mathbb{P}\) の性質から, \[ \{f \hspace{-0.08cm} \upharpoonright \hspace{-0.08cm} \alpha \cup \{(\alpha, 1-f(\alpha))\} : \alpha < \kappa\} \] は \(\Gamma^G\) の反鎖になるからである.

以上により反鎖についてのみ示せばよいが, \(\tau\) が \(M[G]\) 上で \(\Gamma^G\) の反鎖となっているような名前とするとき, \(\kappa\) の正則性から \(|\tau^G| < \kappa\) であることとある \(p \in G\) について \(\tau^G \subseteq p\) であることと同値である. 以下にはこの同値な条件を示す.

今 \(p \in \mathbb{P}\) について \(\tau\) は \[ p \Vdash \tau \text{ は } \Gamma \text{ の極大反鎖} \] を満たすような \(\mathbb{P}\)-名前であるとする. このとき帰納的に \(p = p_0 > p_1 > \cdots\) を \[ (\forall s \in p_n ~ p_{n+1} \parallel \check{s} \in \tau) \land (\forall s \in p_n \exists t \in p_{n+1} \Vdash \check{t} \in \tau \land \check{s} \parallel \check{t}) \] が満たされるように定義する（h13によって得られた \(\mathbb{P}\) の \(\kappa\)-ベール性によってこれは可能である）. このとき \(q = \bigcup_{n < \omega} p_n\) とし \(A = \{s \in q : \exists n ~ p_n \Vdash \check{s} \in \tau\}\) とすればこれは \(q\) の極大反鎖である. 後は \(q\) を拡張した \(\mathbb{P}\) の要素 \(r\) を \(r \Vdash \tau = \check{A}\) が満たされるようにとればよい. このために \(f : q \to 2^\alpha\) （ただし \(\alpha\) は \(q\) の高さ）を \[ \forall s \in q ~ f(s) \supseteq s \land \exists \xi < \alpha ~ f \hspace{-0.08cm} \upharpoonright \hspace{-0.08cm} \xi \in A \] と定め \(r = q \cup \mathrm{ran}(f)\) とすればこれは \(\mathbb{P}\) の要素である. \(r \Vdash \tau = \check{A}\) を示す. 全ての \(n\) について \(p_n \ge r\) であることから \(r \Vdash \tau \supseteq \check{A}\) は明らかで, 逆は \(r \Vdash s \in \tau\) であるときそれが \(\mathrm{ran}(f)\) の要素であっては \(p \Vdash \tau \text{ は } \Gamma \text{ の極大反鎖}\) に反するからかならず \(s \in q\) であって, 従って \(s \in A\) であることから従う.

共終数については \(2^{<\kappa} = \kappa\) のとき, 各 \(\alpha < \kappa\) について高さ \(\alpha+1\) を持つ \(p \in \mathbb{P}\) は高々 \(|[2^{<\alpha+1}]^{<\kappa}| = \kappa\) 個程度しかない. 従って \(|\mathbb{P}| = \kappa\) より \(\mathbb{P}\) は \(\kappa^+\)-鎖条件を持つから共終数を保つ.