第VII章 演習問題 [H18]

\(\omega_1\) 閉性： \(\langle (p_n, S_n) : n < \omega \rangle\) を \(\mathbb{P}\) の単調減少列であり \(\mathrm{ht}(\bigcup_{n < \omega} p_n) = \alpha\) とする. \((q, T) \in \mathbb{P}\) を \[ q = \bigcup_{n < \omega} p_n \cup \{s \in 2^\alpha : \exists t \in \bigcup_{n < \omega} p_n ~ s \subseteq t \land \mathrm{ran}(s) - \mathrm{ran}(t) = \{0\}\} \cup \{f \hspace{-0.08cm} \upharpoonright \hspace{-0.08cm} \alpha : f \in \bigcup_{n < \omega} S_n\} \] とし \(T = \bigcup_{n < \omega} S_n\) とすると \((q, T)\) は求めるものである.

\(\omega_2\) 鎖条件： \(X \subseteq \mathbb{P}\) の濃度が \(\aleph_2\) 以上であるとき, \(|\{(p, S) \in X : \mathrm{ht}(p) = \alpha\}| \ge \aleph_2\) であるような \(\alpha < \omega_1\) が存在する. このとき \(M\) の CH より \(|\{(q, S) : q = p\}| \ge \aleph_2\) を満たす \(p\) が存在し, このような任意の \((p, S)\) と \((p, T)\) は両立する.