\(B = \bigcup \{S : \exists p ~ (p, S) \in G\}\) とするとこれは \(T\) の共終枝の集合である. というのも H12 と同様にして各 \(\alpha < \omega_1\) について \[ D_\alpha = \{(p, S) : \mathrm{ht}(p) > \alpha\} \] が稠密であるとわかる. \((p, S) \in G\) として任意の \(\alpha < \omega_1\) について \((q, T) \in G \cap D_\alpha\) である. このとき \((p \cup q, S \cup T) \in G\) であるから \(\mathbb{P}\) の定義により全ての \(f \in S\) について \(f \hspace{-0.08cm} \upharpoonright \hspace{-0.08cm} \alpha(\mathrm{ht}(p \cup q)-1) \in p \cup q\) が従う. よって全ての \(\alpha < \omega_1\) に対して \(f \hspace{-0.08cm} \upharpoonright \hspace{-0.08cm} \alpha \in T\) である.
最後に \(|B| = 2^{\aleph_1}\) を示すことによって \(T\) がクレパ木であるとわかる. これを示すために各 \(f \in 2^{\omega_1}\) について \[ D_f = \{(p, S) \in \mathbb{P} : \exists \alpha < \omega_1 (\alpha > \mathrm{ht}(p) \land \exists g \in 2^\alpha g \raisebox{0.07cm}{$\smallfrown$} f \in S)\} \] とするとこれは \(\mathbb{P}\) で稠密である（ここで \(g \raisebox{0.07cm}{$\smallfrown$} f\) は \[ i(\xi) = \begin{cases} g(\xi) & (\xi < \alpha) \\ f(\zeta) & (\xi \ge \alpha \land \alpha + \zeta = \xi) \end{cases} \] を満たすような \(i \in 2^{\omega_1}\) のことだとする）. これによって \(|B| = |2^{\omega_1} \cap M|\) だが, \(|\mathbb{P}| = 2^{\aleph_1}\) だから定理6.17の証明にある論法を用いて \[ \mathbb{1} \Vdash |2^{\omega_1} \cap M| \ge 2^{\aleph_1} \] が容易に示される.
この解答は2022年4月に受け取っていたものです. いろいろの事情で公開が遅くなったことをお詫びします. (藤田)