第VII章 演習問題 [H2]

\(\mathbb{P}\) が \(\kappa\)-c.c.を満たすとする. \(S \in M\) を \(\kappa\) の定常部分集合とする. \(\kappa\) においてc.u.b.な \(C \in M[G]\) を任意にとる. [H1]の結果により, \(C' \subset C\) なる \(\kappa\) においてc.u.b.な集合 \(C' \in M\) をとる. \(\emptyset \neq S \cap C' \subset S \cap C\) であるので示すべき命題は成り立つ.

\(\mathbb{P}\) が \(\kappa\) -閉であるとする. \(S \in M\) を \(\kappa\) の定常部分集合とする. \(S\) が \(M[G]\) において定常でないとする. \(p \in \mathbb{P}\) と \(\dot{C} \in M^\mathbb{P}\) を \(p \,{\|\kern-0.40em-}\, (\dot{C} \text{ は } \check{\kappa} \text{ において c.u.b.かつ } \check{S} \cap \dot{C}=\check{\emptyset})\) となるようにとる.

各 \(i<\kappa\) について, \(p_i \in \mathbb{P}\) と \(\alpha_i < \kappa\) を次のとおり帰納的に定める:

(1) \(p_0\) と \(\alpha_0\) を \(p_0 \leq p\) と \(p_0 \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{\alpha}_0 = \min \dot{C}\) を満たすようにとる.

(2) \(p_i\) と \(\alpha_i\) が定まっているとき, \(p_{i+1}\) と \(\alpha_{i+1}\) を \(p_{i+1} \leq p_i\) かつ \(p_{i+1} \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{\alpha}_{i+1} = \min (\dot{C}\setminus \{ \alpha_j : j< i+1 \} \check{} \,) \) を満たすようにとる.

(3) \(i\) が極限順序数で全ての \(j<i\) に対して \(p_j\) と \(\alpha_j\) が定まっているとき, \(\mathbb{P}\) が \(\kappa\) -閉であることを用いて \(p'_i\) を \(\forall j<i(p'_i \leq p_j)\) なるようにとり, \(p_i\) と \(\alpha_i\) を \(p_i \leq p'_i\) かつ \(p_i \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{\alpha}_i = \min (\dot{C}\setminus \{ \alpha_j : j<i \} \check{} \,) \) を満たすようにとる.

ここで, 列 \(\langle \alpha_i : i<\kappa \rangle\) は \(M\) で定義できたので \(M\) の元である.

(補題) : \(\langle \alpha_i : i<\kappa \rangle\) は \(\kappa\) においてc.u.b.である.

(証明) : \(\langle \alpha_i : i<\kappa \rangle\) は定義により狭義増加な \(\kappa\) -列であるから \(\kappa\) の中で非有界であることは明らかである. \(\langle \alpha_i : i<\kappa \rangle\) が閉集合であることを示す. 極限順序数 \(\delta < \kappa\) を, \(\delta\) の中で \(\langle \alpha_i : i<\kappa \rangle \cap \delta\) が非有界であるものとする. \(j < \kappa\) を \(\delta<\alpha_j\) なるようにとる. \(p_j \,{\|\kern-0.40em-}\, (\langle \alpha_i : i<\kappa \rangle \check{} \, \cap (\delta+1) \check{} \, = \dot{C} \cap (\delta+1) \check{} \, \text{ かつ } \dot{C} \text{ は } \check{\kappa} \text{ において c.u.b.})\) である. \(p_j \in H\) なるジェネリックフィルター \(H\) をとる. このとき, \(\delta \in \dot{C}_H \cap (\delta+1) = \langle \alpha_i : i<\kappa \rangle \cap (\delta+1)\) である.

\(S\) は \(M\) において定常なので \(i<\kappa\) を \(\alpha_i \in S\) なるようにとる. このとき, \(p_i \,{\|\kern-0.40em-}\, \check{\alpha}_i \in S \cap \dot{C}\) である. これは \(p_i \leq p\) かつ \(p \,{\|\kern-0.40em-}\, (\check{S} \cap \dot{C}=\check{\emptyset})\) に矛盾する.

よって, \(S\) は \(M[G]\) においても定常集合でなければならない.