第VII章 演習問題 [H20]

VI章9(iii)を示すことで \(\lozenge^+\) を達成させる. このために \(h \in 2^{\omega_1}\) を \(T, P(\omega)^{M[G]} \in L(h)\) を満たすようにとる. これは \(\mathbb{P}\) の \(\omega_1\)-閉性によって \(M[G]\) でも CH が成り立つから \(\omega\) の部分集合をあるひとつの \(\omega_1\) の部分集合で把握できることと, H11 におけるイェックの半順序の濃度が \(\aleph_1\) であることとから可能である. 示すべきは

1. \(\forall f \in 2^{\omega_1} \cap M \exists g \in 2^{\omega_1} (f \in L(g, h) \land g \text{ は } T \text{ の共終枝}),\)
2. \(\forall f \in 2^{\omega_1} \exists g \in 2^{\omega_1} \cap M (f \in L(g, h))\)

の二つである.

[(i) の証明:] これは明らかである. というのも, 各 \(f \in 2^{\omega_1}\) について \[ D_f = \{(p, S) \in \mathbb{P} : \exists \alpha < \omega_1 (\alpha > \mathrm{ht}(p) \land \exists g \in 2^\alpha g \raisebox{0.07cm}{$\smallfrown$} f \in S)\} \] が \(\mathbb{P}\) で稠密だからである. ここで \(g \raisebox{0.07cm}{$\smallfrown$} f\) は \[ i(\xi) = \begin{cases} g(\xi) & (\xi < \alpha) \\ f(\zeta) & (\xi \ge \alpha \land \alpha + \zeta = \xi) \end{cases} \] を満たすような \(i \in 2^{\omega_1}\) のことだとする.

[(ii) の証明:] \(|\mathbb{P}| = 2^{\aleph_1}\) であり, また \(\mathbb{P}\) の \(\aleph_2\)-鎖条件より \(\mathbb{P}\) の反鎖は高々 \(2^{\aleph_1}\) 個だから, \(\omega_1\) の部分集合の都合の良い名前も高々 \(2^{\aleph_1}\) 個しかない. そこでこれらの都合のいい名前をそれぞれある \(g \in 2^{\omega_1}\) にコード化する. これによって \(M[G]\) における \(2^{\omega_1}\) の要素 \(f\) は全てある \(T\) の共終枝 \(g\) がコード化する \(\omega_1\) の部分集合の都合のいい名前 \(A\) を使って \[ \begin{split} f(\alpha) = 1 &\iff \exists (p, S) \in G ~ (\alpha, (p, S)) \in A \\ &\iff \exists p \exists S ((\exists \alpha < \omega_1 ~ p = T \cap 2^\alpha) \land S \in [2^{\omega_1}]^\omega \land \forall x \in S \forall \alpha < \omega_1 ~ x \hspace{-0.08cm} \upharpoonright \hspace{-0.08cm} \alpha \in T \land (\alpha, (p, S)) \in A) \end{split} \] とすれば \(g\) と \(h\) から \(f\) を定義することができる. なおコード化の際に必要になるいくつかの写像は \(L(h)\) に属するものを用いれば問題なく \(A \in L(g, h)\) であり, 従って \(f \in L(g, h)\) が導かれる.