まず, \(\kappa^\omega = \kappa\)の仮定から\(\kappa \geq \omega_1\)である. [H21]の結果より, \((2^\omega)^{M[G]} \geq \kappa\)が成り立つ. \(M\)において, \(\check{\omega}\)の部分集合の都合の良い名前がいくつあるかを考える. [H21]の結果から, \(\mathcal{B}\)の反鎖のサイズは高々\(\omega\)である.
\(\mathcal{B}\)のサイズが高々\(\kappa\)であることを示す. \({^I2}\)は\({^\kappa2}\)に同型なので, \(\mathcal{B}\)は\({^\kappa2}\)の測度代数としてよい. \({^\kappa2}\)の可測な部分集合全体について考える.
\({^\kappa2}\)の可測な部分集合とは次の定義で定まる\(S_{\omega_1}\)の元のことである:
各\(\alpha \leq \omega_1\)について\(S_\alpha\), \(P_\alpha\)を次の通り再帰的に定める.
- \(S_0 = \{ X \subset {^\kappa2} : X \) は基本開集合 \(\}\)と定める.
- \(S_\alpha\)が定まっているとき, \(P_\alpha = \{ X \subset {^\kappa2} : \exists Y \in S_\alpha (X = {^\kappa2} \setminus Y) \}\)と定める.
- \(P_\alpha\)が定まっているとき, \(S_{\alpha+1} = \{ X \subset {^\kappa2} : X \) はある可算個の \(S_\alpha \cup P_\alpha \) の元の和 \(\}\)と定める.
- \(\alpha\)が極限順序数で, 全ての\(\beta < \alpha\)について\(S_\beta\)が定まっているとき, \(S_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} S_\beta\)と定める.
定義から, \(|\mathcal{B}| \leq |S_{\omega_1}|\)であるので次の補題を示せばよい.
(補題1) : 各\(\alpha \leq \omega_1\)について, \(|S_\alpha| \leq \kappa\)である.
(証明) : まず, 基本開集合の定義から\(|S_0| = \kappa^{<\omega} = \kappa\)である. また構成法から各\(\alpha<\omega_1\)について\(|P_\alpha| = |S_\alpha|\)である.
後続型順序数\(\alpha<\omega_1\)を任意にとる. \(|S_{\alpha-1}| \leq \kappa\)が証明されているとする. このとき, \(|S_\alpha| = |S_{\alpha-1} \cup P_{\alpha-1}|^\omega = \kappa^\omega = \kappa\)である.
極限順序数\(\alpha \leq \omega_1\)を任意にとる. \(\forall \beta < \alpha(|S_\beta| \leq \kappa)\)が証明されているとする. このとき, \(|S_\alpha| \leq \kappa \otimes |\alpha| \leq \kappa \otimes \omega_1 = \kappa\)である.
以上より, 各\(\alpha \leq \omega_1\)について, \(|S_\alpha| \leq \kappa\)である.
本題に戻る. \(\mathcal{B}\)の反鎖は高々\(\kappa^\omega\)個であるから, \(\check{\omega}\)の部分集合の都合の良い名前は高々\((\kappa^\omega)^\omega = \kappa\)個である. よって, 定理6.17での議論と同様にして, \((2^\omega)^{M[G]} \leq \kappa\)が分かる.