まず, 本題に入る前にいくつかの事実について確認する. \(\mathcal{B}\)が\(\mu\)を測度とする測度付きブール代数であるとは, \(\mathcal{B}\)が\(\sigma\)-完備ブール代数であり, \(\mathcal{B}\)上に定義された実数値関数\(\mu\)が次の条件をみたすことである:
- \(\forall b \in \mathcal{B} (0 \leq \mu(b) \leq 1)\).
- \(\mu(0_\mathcal{B}) = 0\) かつ \(\mu(1_\mathcal{B}) = 1\).
- \(\forall b \in \mathcal{B} \setminus \{ 0_\mathcal{B} \} (\mu(b) > 0)\).
- \(\{ b_n \in \mathcal{B} : n < \omega \}\)が反鎖なら, \(\mu(\bigvee_{n<\omega}b_n) = \sum_{n<\omega}\mu(b_n)\).
\(M\)において測度付きブール代数\(\mathcal{B}\)を任意にとる. その測度を\(\mu\)とする.
(主張1) : \(\mathcal{B}\)はc.c.c.をみたす. このことは[H21]で行ったのと同様にして証明できる.
(主張2) : \(\mathcal{B}\)は完備ブール代数である.
(証明) : \(X \in \mathcal{P}(\mathcal{B})\)を任意にとる. \(X\)の上限が存在することを示せばよい. \(Y = \{ b \in \mathcal{B}\setminus \{ 0_\mathcal{B} \} : \exists a \in X (b \leq a) \}\)とおく. \(Y\)の上界全体の集合と\(X\)の上界全体の集合は一致するので, もし\(Y\)の上限が存在するならばそれが\(X\)の上限である.
\(Y\)の極大反鎖を一つとり, \(W\)とおく. (主張1)より, \(\mathcal{B}\)がc.c.c.をみたすので\(|W| \leq \omega\)である. \(\mathcal{B}\)が\(\sigma\)-完備なので, \(W\)の上限は存在する. \(\bigvee W\)が\(Y\)の上限であることを示す.
\(\bigvee W\)が\(Y\)の上界でなかったとすると, \(a \in Y\)を\(a \not\leq \bigvee W\)であるようにとれる. \(0_\mathcal{B} < a \wedge (\bigvee W)' \leq a\)である. \(a \in Y\)から, \(a \wedge (\bigvee W)' \in Y\)である. \(W\)は\(Y\)の極大反鎖なので, ある\(e \in W\)について, \(0_\mathcal{B} < e \wedge a \wedge (\bigvee W)'\)である. しかし, \(0_\mathcal{B} < e \wedge a \wedge (\bigvee W)' \leq e \wedge (\bigvee W)' \leq (\bigvee W) \wedge (\bigvee W)' = 0_\mathcal{B}\)となり矛盾. よって\(\bigvee W\)は\(Y\)の上界である.
\(W \subset Y\)から, \(Y\)の上界は\(W\)の上界である. すなわち, \(Y\)の任意の上界\(c\)に対して\(\bigvee W \leq c\)が成り立つ. よって, \(\bigvee W\)は\(Y\)の上限である.
本題に入る. \(1_\mathcal{B} \,{\|\kern-0.40em-}\, \forall f \in {^\omega \omega} \exists g \in {({^\omega \omega})\check{}} \,\, \forall n \in \check{\omega} (f(n) \leq g(n))\)を証明する. \(b \in \mathcal{B}\)と\(\dot{f} \in M^\mathcal{B}\)が\(b \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{f} \in {^\omega \omega}\)をみたすものであるとする. \(c \leq b\)と\(g \in {(^\omega \omega)}^M\)を\(c \,{\|\kern-0.40em-}\, \forall n \in \check{\omega}(\dot{f}(n) \leq \check{g}(n))\)なるようにとれることを示せばよい.
(主張3) : 各\(n \in \omega\)について, ある\(m \in \omega\)が存在して\(\mu(b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m} ]\!]) \geq \mu(b) \cdot (1-1/2^{n+2})\)が成り立つ.
(証明) : \(n \in \omega\)とする. \(b \,{\|\kern-0.40em-}\, \dot{f}(\check{n}) \in \check{\omega}\)なので, \(b \leq [\![\dot{f}(\check{n}) \in \check{\omega}]\!] = \bigvee_{m \in \omega}[\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m}]\!]\)である. よって, \(b = b \wedge \bigvee_{m \in \omega}[\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m}]\!] = \bigvee_{m \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m}]\!])\)である.
\(\langle b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m}]\!] : m \in \omega \rangle\)は上限を\(b\)とする\(\leq_{\mathcal{B}}\)-単調増加列なので, \(\langle \mu(b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m}]\!]) : m \in \omega \rangle\)は\(\mu(b)\)に収束する\(\leq\)-単調増加列である. よって, 十分大きい\(m \in \omega\)について\(\mu(b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m} ]\!]) \geq \mu(b) \cdot (1-1/2^{n+2})\)が成り立つ.
ここで, 各\(n \in \omega\)について, \(\mu(b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{m} ]\!]) \geq \mu(b) \cdot (1-1/2^{n+2})\)をみたす\(m\)を一つとり, それを\(g(n)\)とすることにより, \(g \in ({^\omega \omega})^M\)を定める.
(主張4) : \(\bigwedge_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{g}(\check{n}) ]\!]) > 0_\mathcal{B}\)である.
(証明) : \(\bigl( \bigwedge_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{g}(\check{n}) ]\!]) \bigr)' < 1_\mathcal{B}\)を示せばよい
\(\bigl( \bigwedge_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{g}(\check{n}) ]\!]) \bigr)' = \bigvee_{n \in \omega} (b' \vee [\![ \dot{f}(\check{n}) > \check{g}(\check{n}) ]\!]) = \bigvee_{n \in \omega} \bigl( b' \vee((b' \vee b) \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) > \check{g}(\check{n}) ]\!]) \bigr) = \bigvee_{n \in \omega}(b' \vee (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) > \check{g}(\check{n}) ]\!])) = b' \vee \bigvee_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) > \check{g}(\check{n}) ]\!])\)である.
各\(n \in \omega\)について, \(\mu(b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{g}(\check{n}) ]\!]) \geq \mu(b) \cdot (1-1/2^{n+2})\)から, \(\mu(b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) > \check{g}(\check{n}) ]\!]) \leq \mu(b) \cdot (1/2^{n+2})\)である.
ここで, \(\mu (\bigvee_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) > \check{g}(\check{n}) ]\!])) \leq \sum_{n \in \omega} \mu(b) \cdot (1/2^{n+2}) = \mu(b)/2\)である.
よって, \(\mu( b' \vee \bigvee_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) > \check{g}(\check{n}) ]\!])) \leq \mu(b') + \mu(b)/2 = 1-\mu(b) + \mu(b)/2 = 1 - \mu(b)/2 < 1\)である. よって, \(\bigl( \bigwedge_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{g}(\check{n}) ]\!]) \bigr)' < 1_\mathcal{B}\)である.
\(c = \bigwedge_{n \in \omega} (b \wedge [\![ \dot{f}(\check{n}) \leq \check{g}(\check{n}) ]\!])\)とおく. このとき, \(c \leq b\)かつ\(c \,{\|\kern-0.40em-}\, \forall n \in \check{\omega}(\dot{f}(n) \leq \check{g}(n))\)である.
次に, \(\operatorname{Fn}(I,2)\)によるジェネリック拡大について考える. 当然ながら\(I\)が有限であればジェネリック拡大を考える意味が無いので, この問題は\(I\)が無限集合の場合のみを考えるものである. \(G\)を\(M\)上\(\operatorname{Fn}(I,2)\)-ジェネリックフィルターとする. VIII章の定理2.1により, \(\operatorname{Fn}(I,2)\)は\(\operatorname{Fn}(I \setminus \omega,2) \times \operatorname{Fn}(\omega,2)\)と同型であり, \(G_0 = G \cap \operatorname{Fn}(\omega,2)\)とおくと\(G_0\)は\(M\)上\(\operatorname{Fn}(\omega,2)\)-ジェネリックフィルターである. また, \(M[G_0] \subset M[G]\)なので, \(f \in ({^\omega \omega})^{M[G_0]}\)を\(\forall g \in ({^\omega \omega})^M \exists n \in \omega (f(n)>g(n))\)なるようにとれればよい. [C4]の結果により, \(\operatorname{Fn}(\omega, 2)\)は\(\operatorname{Fn}(\omega, \omega)\)は同じジェネリック拡大を与えるので, \(M\)上\(\operatorname{Fn}(\omega, \omega)\)-ジェネリックフィルター\(H\)を\(M[G_0] = M[H]\)なるようにとる. \(\bigcup H \in M[H]\)は\(\omega\)から\(\omega\)への関数である.
(主張5) : 各\(g \in ({^\omega \omega})^M\)に対して, \(D_g = \{ p \in \operatorname{Fn}(\omega, \omega) : \exists n \in \omega (p(n) > g(n)) \} \in M\)は\(\operatorname{Fn}(\omega, \omega)\)の稠密部分集合である. このことは簡単に分かる.
\(\bigcup H = f\)とおく. \(\forall g \in ({^\omega \omega})^M \exists n \in \omega (f(n)>g(n))\)を示す. \(g \in ({^\omega \omega})^M\)とする. \(p \in H \cap D_g\)と\(n \in \omega\)を\(p(n)>g(n)\)なるようにとる. \(f\)の定義により, \(f(n)=p(n)>g(n)\)である.