第VII章 演習問題 [H24]

可測基数 \(\kappa\) の非自明 \(\kappa\)-完備素イデアル \(\mathcal{I}\) に対して \(\mathcal{J}\) を \[ \mathbb{1} \Vdash \dot{X} \in \mathcal{J} \iff (\dot{X} \subseteq \kappa \land \exists Y \in \check{\mathcal{I}} \dot{X} \subseteq \check{Y}) \tag{*} \] を満たすようなものだとする. まずは \(\mathcal{J}\) が非自明な \(\kappa\)-完備イデアルということを示す.

\(\mathcal{J}\) が非自明なイデアルなのは \(\mathcal{I}\) が非自明なイデアルだということから自明である. \(\kappa\)-完備性を示すために \(p \Vdash \{\dot{X}_\alpha : \alpha < \gamma\} \subseteq \mathcal{J}\) とする. このとき各 \(\alpha < \gamma\) について (*) に従って \[ A_\alpha \subseteq \{q \in \mathbb{P} : q \le p \land \exists y \in \mathcal{I} ~ q \Vdash \dot{X}_\alpha \subseteq \check{y}\} \] を極大反鎖とする（\(\mathcal{J}\) の定義よりこれは \(p\) 以下の極大反鎖である）. 可算鎖条件より \(A_\alpha\) は可算である. このとき各 \(q \in A_\alpha\) について \(Y_{\alpha, q}\) を \(q \Vdash \dot{X}_\alpha \subseteq \check{Y}_{\alpha, q}\) を満たすように取り, \(Y_\alpha = \bigcup \{Y_{\alpha, q} : q \in A_\alpha\}\) とすれば \(Y_\alpha \in \mathcal{I}\) であり \(p \Vdash \dot{X}_\alpha \subseteq \check{Y}_\alpha\). 従って \(p \Vdash \bigcup_{\alpha < \gamma} X_\alpha \subseteq \bigcup_{\alpha < \gamma} Y_\alpha\) より \(\bigcup_{\alpha < \gamma} X_\alpha \in \mathcal{J}\).

\(\omega_1\) 飽和性を示そう. \(\mathcal{I}\) の双対フィルターを \(\mathcal{U}\) とする. 今 \(p \Vdash \{\dot{X}_\alpha : \alpha < \omega_1\} \subseteq \mathcal{J}^+\) とする. \(U_\alpha = \{\xi < \kappa : \exists q \le p ~ p \Vdash \check{\xi} \in \dot{X}_\alpha\}\) とすれば \(p \Vdash \dot{X}_\alpha \subseteq \check{U}_\alpha\) だから \(X_\alpha\) の定義より \(U_\alpha \in \mathcal{U}\). \(\mathcal{U}\) は \(\kappa\)-完備だから \(U = \bigcap_{\alpha < \omega_1} U_\alpha \in \mathcal{U}\) でもある. このとき任意の \(\xi \in U\) と \(\alpha < \omega_1\) に対して \(q \Vdash \check{\xi} \in \dot{X}_\alpha\) を満たすような \(q \le p\) が存在するが, \(\mathbb{P}\) の可算鎖条件により \[ \exists \alpha, \beta < \omega_1 (\alpha \neq \beta \land \exists r \le p ~ r \Vdash \check{\xi} \in \dot{X}_\alpha \cap \dot{X}_\beta). \] よって稠密性によって \(M[G]\) 上で \(U \subseteq \bigcup \{X_\alpha \cap X_\beta : \alpha < \beta < \omega_1\}\) が成り立つが, \(U \notin \mathcal{J}\) より \(X_\alpha \cap X_\beta \in \mathcal{J}^+\) を満たすような異なる \(\alpha, \beta < \omega_1\) が存在する.

ちなみに全く同様の論法によって \(\omega_1\) は \(\kappa\) より小さい任意の基数に置き換えても同様の主張が成り立つ. \(\kappa\)-鎖条件の場合は \(\kappa\) を \(\aleph_1\) に崩壊させるレヴィの半順序が反例である. この半順序によるジェネリック拡大では \(\kappa = \aleph_1\) だから, ウラムの定理より \(\lnot \exists \mathcal{I} S(\kappa, \kappa, \mathcal{I})\).