第VII章 演習問題 [H25]

\(\omega_1\) ベール性については \(D_n (n < \omega)\) が全て開稠密集合であるとき \(\bigcap_{n < \omega} D_n\) もまた開稠密であることを示せばよい. \(D_n (n < \omega)\) を \(\mathbb{P}\) の開稠密集合とする. 今各 \(\alpha < \omega_1\) に対して \(\mathbb{P}\) の単調減少列 \(\langle p_{\alpha, n} : n < \omega \rangle\) で全ての \(\alpha\) と \(n\) について \(p_{\alpha, n} \in D_n\) であるようなものを帰納法によって以下の条件が満たされるように構成する.

\(a_\alpha = \sup \left(\bigcup_{n < \omega} p_{\alpha, n}\right)\) とするとき,

i) \(\alpha\) が0または極限順序数であり \(m < \omega\) であるとき \(\langle p_{\alpha+m, n} : n < \omega \rangle\) に対して \(\langle p_{\alpha+m+1, n} : n < \omega \rangle\) は

• \(p_{\alpha+m+1, i} = p_{\alpha+m, i} ~ (i \le m),\)
• \(\max(p_{\alpha+m+1, m+1}) > a_{\alpha+m}\)

を満たす.

ii) 極限順序数 \(\alpha\) については, \(\alpha\) を極限に持ち全ての \(n < \omega\) について

• \(p_{\alpha, n} = p_{\alpha_n, n},\)
• \item \(a_{\alpha_n} < \max(p_{\alpha, n+1}) < a_{\alpha_{n+1}}\)

が満たされるような単調増加列 \(\{\alpha_n : n < \omega\}\) が存在する.

このような構成は任意の \(\alpha < \omega_1\) について \[ E_\alpha = \{p \in \mathbb{P} : p \not\subseteq \alpha\} \] が \(\mathbb{P}\) で開稠密であることから可能である.

このとき \(C = \{a_\alpha : \alpha < \omega_1\}\) は非有界閉であるから, \(T\) の定常性によって \(C \cap T \neq \emptyset\). よって \(a_\alpha \in T\) であるような任意の \(\alpha\) について \(q_\alpha = \bigcup_{n < \omega} p_{\alpha, n} \cup \{a_\alpha\}\) とすれば \(q_\alpha \in \bigcap_{n < \omega} D_n\) であり, 任意の \(p \in \mathbb{P}\) について \(p_{0, 0} \le p\) として同様の構成をすることで \(\bigcap_{n < \omega} D_n\) の稠密性が示された.

\(C_G = \bigcup G\) とするとこれは \(M[G]\) で非有界閉集合である. 閉性は明らか. 非有界性については \(E_\alpha\) の稠密性による.