\(\mathbb{P}\) は\(\kappa\)-閉であるか, またはある\(\lambda<\kappa\)について\(\lambda\)-c.c.をみたす半順序とする.
(1) \(\kappa\)が\(M\)において弱マーロ基数であるとする.
\(\{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は正則基数\()^M \}\) は\(M\)の中で\(\kappa\)の定常部分集合である. [H2]の結果により, \(\{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は正則基数\()^M \}\) は\(M[G]\)の中で\(\kappa\)の定常部分集合である.
(1-1) \(\mathbb{P}\)が\(\kappa\)-閉であるとする. 系6.15により, \(\{ \alpha < \kappa : (\alpha \) は正則基数\()^M \} =\{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は正則基数\()^{M[G]} \}\)である.
(1-2) \(\mathbb{P}\)が\(\lambda\)-c.c.をみたす(ただし, \(\lambda<\kappa\))とする. \(\{ \alpha < \kappa : \lambda < \alpha \}\) は\(M[G]\)の中で\(\kappa\)のc.u.b.部分集合であるので, \(\{ \alpha < \kappa : \lambda < \alpha\) かつ \((\alpha\) は正則基数\()^M \}\)も\(M[G]\)の中で\(\kappa\)の定常部分集合である. 補題6.9により, \(\{ \alpha < \kappa : \lambda < \alpha\) かつ \((\alpha\) は正則基数\()^M \} = \{ \alpha < \kappa : \lambda < \alpha\) かつ \((\alpha\) は正則基数\()^{M[G]} \} \subset \{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は正則基数\()^{M[G]} \}\)である.
以上より, (1-1), (1-2)いずれの場合も\(\kappa\) は\(M[G]\)において弱マーロ基数である.
(2) \(\kappa\)が\(M\)において弱超マーロ基数であるとする.
\(\{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は弱マーロ基数\()^M \}\) は\(M\)の中で\(\kappa\)の定常部分集合である. [H2]の結果により, \(\{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は弱マーロ基数\()^M \}\) は\(M[G]\)の中で\(\kappa\)の定常部分集合である.
(2-1) \(\mathbb{P}\)が\(\kappa\)-閉であるとする. すべての\(\alpha < \kappa\)について \(\mathbb{P}\) は\(\alpha\)-閉であるので, (1)の結果より, \(\{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は弱マーロ基数\()^M \} = \{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は弱マーロ基数\()^{M[G]} \}\)である.
(2-2) \(\mathbb{P}\)が\(\lambda\)-c.c.をみたす(ただし, \(\lambda<\kappa\))とする. (1-2)で言及したのと同様に\(\{ \alpha < \kappa : \lambda < \alpha\) かつ \((\alpha\) は弱マーロ基数\()^M \}\)も\(M[G]\)の中で\(\kappa\)の定常部分集合である. (1)の結果より, \(\{ \alpha < \kappa : \lambda < \alpha \) かつ \((\alpha\) は弱マーロ基数\()^M \} = \{ \alpha < \kappa : \lambda < \alpha\) かつ \((\alpha \) は弱マーロ基数})^{M[G]} \} \subset \{ \alpha < \kappa : (\alpha\) は弱マーロ基数\()^{M[G]} \}\)である.
以上より, (2-1), (2-2)いずれの場合も\(\kappa\) は\(M[G]\)において弱超マーロ基数である.
6月3日付で寄稿いただいていたのに管理者がうっかりしていたのでたっぷりひと月も公開が遅れました。お詫び申しあげます。(藤田)