第VII章 演習問題 [H8]

半順序 \(\mathbb{P}\) に、\(\mathbb{1}\) を最小元とする順序型 \(\omega_1\) 以下の整列順序 \(W\) を与え、\(\omega_1 \times (\mathbb{P}, W)\) の辞書式順序 \(\prec\) を考える（以下では簡単のためにこれを \(\omega_1 \times \mathbb{P}\) と表し、またこれを順序数のように扱う）。

このとき、この辞書式順序の順序型は \(\omega_1\) である。これについて、\(\langle \alpha, p \rangle\) と書いて辞書式順序における \((\alpha, p)\) の始切片とする。

■ 補題:
\(C\) が \(\omega_1 \times \mathbb{P}\) の非有界閉集合であるとき、\(\mathrm{dom}(C)\) は \(\omega_1\) の非有界閉集合である。従って \(S\) が \(\omega_1 \times \mathbb{P}\) の定常集合なら \(\mathrm{dom}(S) \subseteq \omega_1\) は \(\omega_1\) の定常集合である。

■ 補題の証明:
\(C \subseteq \omega_1 \times \mathbb{P}\) を非有界閉集合とする。\(\mathrm{dom}(C)\) の非有界性は明らか。閉性を示すために極限順序数 \(\alpha < \omega_1\) について \(\sup(\mathrm{dom}(C) \cap \alpha) = \alpha\) とする。

このとき狭義単調増加列 \(\langle (\alpha_n, p_n) : n < \omega \rangle\) は \((\alpha_n, p_n)\) がすべて \(C\) の要素であり \(\lim_{n \to \omega} \alpha_n = \alpha\) になるようなものだとすると、\(\lim_{n \to \omega} (\alpha_n, p_n) = (\alpha, \mathbb{1})\) だから \(\alpha \in \mathrm{dom}(C)\) がわかる。

■ 本題の証明:
\(M \models \lozenge\) より、\(\omega_1 \times \mathbb{P}\) の \(\lozenge\)-列 \(\langle P_{(\alpha, p)} : (\alpha, p) \in \omega_1 \times \mathbb{P} \rangle\) が存在する。

このとき \(M[G]\) において \(\langle A_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle\) を \(A_\alpha = P^G_{(\alpha, \mathbb{1})}\) で定義すれば、これは \(M[G] \models \lozenge\) を示す列である。以下にこれを示す。

\(M[G] \models A^G \subseteq \omega_1\) を満たすすべての \(A \in M^{\mathbb{P}}\) について示す必要があるが、これは \(\omega_1\) の部分集合の都合の良い名前についてのみ考えればよい。従って \(\mathbb{1} \Vdash A \subseteq \omega_1\) が成り立つ。

\(M[G]\) 上で \(\{\alpha < \omega_1 : A^G \cap \alpha = A_\alpha\}\) が定常集合であることを示すために、 \[ \forall \alpha < \omega_1\, (A \cap \langle \alpha, \mathbb{1} \rangle = P_{(\alpha, \mathbb{1})} \Rightarrow \mathbb{1} \Vdash A^G \cap \alpha = A_\alpha)~~~~(*) \] を示す。

\(C = \omega_1 \times \{\mathbb{1}\}\) とおけば、これは \(\omega_1 \times \mathbb{P}\) の非有界閉集合である。 \[ \{\alpha < \omega_1 : A^G \cap \alpha = A_\alpha\} \supseteq \{\alpha < \omega_1 : A \cap \langle \alpha, \mathbb{1} \rangle = P_{(\alpha, \mathbb{1})}\} = \mathrm{dom}(\{(\alpha, p) : A \cap \langle \alpha, p \rangle = P_{(\alpha, p)}\}) \cap C \] が成り立ち、\(\mathbb{P}\) の可算鎖条件より \(\omega_1\) の部分集合はジェネリック拡大によって定常性を失わないから、補題より \(\{\alpha < \omega_1 : A^G \cap \alpha = A_\alpha\}\) が定常であるとわかる。

■ (\(*\)) の証明:
\(A \cap \langle \alpha, \mathbb{1} \rangle = P_{(\alpha, \mathbb{1})}\) を仮定して、\(p \in \mathbb{P}\) について \(p \Vdash \gamma \in A^G \cap \alpha\) とする。

このとき定義より \[ \forall q \le p\, \exists r \le q\, \exists s\, (r \le s \land (\gamma, s) \in A) \] であるが、これは仮定から \[ \forall q \le p\, \exists r \le q\, \exists s\, (r \le s \land (\gamma, s) \in P_{(\alpha, \mathbb{1})}) \] と同値である。このとき \(p \Vdash \gamma \in A_\alpha\)。逆も同様だから、\(p \Vdash A^G \cap \alpha = A_\alpha\) が導かれ、結局 \(\mathbb{1} \Vdash A^G \cap \alpha = A_\alpha\) が従う。