記号は演習問題 Chapter VIII [A6]の物をそのまま流用する。\(I\) の cardinality は \(\theta\) だから、そこに書かれているように \(\{ X':X\in\mathcal P(\theta)\}\) が independent であることを示せばよい。
そのため、異なる \(X_1',\cdots,X_m',Y_1',\cdots,Y_n'\) を準備する。明らかに \(X_1,\cdots,X_m,\) \(Y_1,\cdots,Y_n\) 達はすべて異なることがわかる。すると \(X_1\cap t,\cdots,X_m\cap t,Y_1\cap t,\cdots,Y_n\cap t\) 達がすべて異なる有限集合 \(t\subset\theta\) が存在する(十分大きい \(t\) を考えればよい)。 そこで \(t\subset s\subset \theta\) を満たす有限集合 \(s\) に対し、 \[ \mathcal A_s =\{ X_1\cap s,\cdots,X_m\cap s\} \] とおくと、\(\langle s,\mathcal A_s \rangle\in X_1'\cap \cdots \cap X_m'\) は明らかにわかる。仮に、\(\langle s,\mathcal A_s \rangle\in Y_j'\) となる \(j\leq n\) があったとすると、\(Y_j\cap s\in \mathcal A_s\) だから, \(X_i\cap s= Y_j\cap s\) をみたす \(i\leq m\) が存在する。\(t\subset s\) だったから \(X_i\cap t= Y_j\cap t\) が成立する。これは \(X_1\cap t,\cdots,X_m\cap t,Y_1\cap t,\cdots,Y_n\cap t\) 達がすべて異なることに矛盾する。したがって, 任意の \(j\leq n\) に対して, \(\langle s,\mathcal A_s \rangle\in I\setminus Y_j'\) がわかる。
以上から、\(\{ \langle s,\mathcal A_s \rangle: t\subset s\subset\theta , |s|<\omega\} \subset X_1'\cap \cdots \cap X_m'\cap (I\setminus Y_1')\cap \cdots (I\setminus Y_n')\) がわかり、左辺の cardinality が \(\theta\) であることから証明は終わる。