(c) \(\longrightarrow\) (b)は明らか.
(b) \(\longrightarrow\) (a)を示す. \(X\), \(Y\)がc.c.c.を満たし, \(\{N_\alpha \subset X \times Y : \alpha < \kappa \}\)が互いに交わらない空でない開集合からなる族であるとする. 第II章定義2.3の後に出てくる(例3)での説明によれば, \(\mathbb{P}_X =\{ p \subset X : p \text{ は空でない開集合}\}\), \(\forall p_1, p_2 \in \mathbb{P}_X (p_1 \leq_{\mathbb{P}_X} p_2 \longleftrightarrow p_1 \subset p_2)\) と定めれば, \(\mathbb{P}_X\)もc.c.c.を満たす. 同様に\(\mathbb{P}_Y\)を定め, \(\mathbb{P}=\mathbb{P}_X\), \(\mathbb{Q}=\mathbb{P}_Y\)とおく. 後は, \(\mathbb{P} \times \mathbb{Q}\)の反鎖で濃度\(\kappa\)のものを見つければよい. 各\(\alpha < \kappa\)について, \(p_\alpha \times q_\alpha \subset N_\alpha\)なる\(p_\alpha \in \mathbb{P}\), \(q_\alpha \in \mathbb{Q}\)をとる. \(\{ \langle p_\alpha, q_\alpha \rangle : \alpha < \kappa\}\)が\(\mathbb{P} \times \mathbb{Q}\)の反鎖であることを示せばよい. 示すべきことに反して\(p\), \(q\), \(\alpha\), \(\beta\)が\(\alpha<\beta<\kappa\)かつ\(\langle p,q \rangle \leq \langle p_\alpha, q_\alpha \rangle\)かつ\(\langle p,q \rangle \leq \langle p_\beta, q_\beta \rangle\)なるようにとれたとする. \(p \subset p_\alpha \cap p_\beta\)かつ\(q \subset q_\alpha \cap q_\beta\)である. \(\emptyset \neq p \times q \subset (p_\alpha \cap p_\beta) \times (q_\alpha \cap q_\beta)=(p_\alpha \times q_\alpha) \cap (p_\beta \times q_\beta) \subset N_\alpha \cap N_\beta\)であるから矛盾である.
(a) \(\longrightarrow\) (c)を示す. \(\mathbb{P}\), \(\mathbb{Q}\)がc.c.c.を満たし, \(\{ \langle p_\alpha, q_\alpha \rangle : \alpha < \kappa\}\)が\(\mathbb{P} \times \mathbb{Q}\)の反鎖であるとする. \(\mathbb{P}\), \(\mathbb{Q}\)の完備化をそれぞれ\(\mathcal{B}_\mathbb{P}\), \(\mathcal{B}_\mathbb{Q}\)とし, その完備化を与える写像をそれぞれ\(i : \mathbb{P} \longrightarrow \mathcal{B}_\mathbb{P}\), \(j : \mathbb{Q} \longrightarrow \mathcal{B}_\mathbb{Q}\)とする. 第II章定理3.2の証明でも指摘されているように \(\mathbb{P}\), \(\mathbb{Q}\)がc.c.c.を満たすことから\(\mathcal{B}_\mathbb{P}\), \(\mathcal{B}_\mathbb{Q}\)もc.c.c.を満たすことが分かる. \(\mathcal{B}_\mathbb{P}\), \(\mathcal{B}_\mathbb{Q}\)のストーン空間をそれぞれ\(X\), \(Y\)とする. (ストーン空間については第II章定理3.4の証明を参照.) このとき\(X\), \(Y\)はそれぞれc.c.c.を満たすコンパクトハウスドルフ空間である. \(X \times Y\)の反鎖で濃度\(\kappa\)のものを見つければよい. 各\(b \in \mathcal{B}_\mathbb{P}\), \(c \in \mathcal{B}_\mathbb{Q}\)に対して, \(N^X_b = \{ G \in X : b \in G\}\), \(N^Y_c = \{ G \in Y : c \in G\}\)と定める. \(\{ N^X_{i(p_\alpha)} \times N^Y_{j(q_\alpha)} : \alpha < \kappa\}\)が互いに交わらない集合からなる族であることを示せばよい. 示すべきことに反して\(\alpha\), \(\beta\)が\(\alpha<\beta<\kappa\)かつ\(\emptyset \neq (N^X_{i(p_\alpha)} \times N^Y_{j(q_\alpha)}) \cap (N^X_{i(p_\beta)} \times N^Y_{j(q_\beta)})\)となるようにとれたとする. \((N^X_{i(p_\alpha)} \times N^Y_{j(q_\alpha)}) \cap (N^X_{i(p_\beta)} \times N^Y_{j(q_\beta)})=(N^X_{i(p_\alpha)} \cap N^X_{i(p_\beta)}) \times (N^Y_{j(q_\alpha)} \cap N^Y_{j(q_\beta)})\)であるから, \(N^X_{i(p_\alpha)} \cap N^X_{i(p_\beta)} \neq \emptyset\)かつ\(N^Y_{j(q_\alpha)} \cap N^Y_{j(q_\beta)} \neq \emptyset\)である. このとき\(i(p_\alpha) \wedge i(p_\beta) > 0\)かつ\(j(q_\alpha) \wedge j(q_\beta)>0\)であって, \(p_\alpha\)と\(p_\beta\), \(q_\alpha\)と\(q_\beta\)はそれぞれ両立する. \(p \in \mathbb{P}\), \(q \in \mathbb{Q}\)を\(p \leq p_\alpha\)かつ\(p \leq p_\beta\)かつ\(q \leq q_\alpha\)かつ\(q \leq q_\beta\)なるようにとる. このとき, \(\langle p, q \rangle \leq \langle p_\alpha, q_\alpha \rangle\)かつ\(\langle p, q \rangle \leq \langle p_\beta, q_\beta \rangle\)であるから矛盾である.