命題\(\mathrm{(CL)}\)を仮定する. \(\lambda\) は特異基数で \(\mathrm{cf}(f(\lambda))=\mathrm{cf}(\lambda)\) となっているものとする. 前問[H1]の解答の議論により, このとき \(\{2^\kappa\mid\kappa<\lambda\}\) は最大値をとらない.
前問[H1]の解答で示した重要な等式 \(2^{\lambda} = (f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)}\) を思い出そう. この等式により, 示すべきことは \((f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)}=(f(\lambda))^+\) となる.
まず仮定された等式 \(\mathrm{cf}(f(\lambda))=\mathrm{cf}(\lambda)\) とケーニヒの補題(第I章補題10.40)により \((f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)}=(f(\lambda))^{\mathrm{cf}(f(\lambda))}>f(\lambda)\) であり, したがって \((f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)}\geq(f(\lambda))^+\) である.
一般に集合 \(Y\) と基数 \(\kappa\) について \[ [Y]^\kappa:=\big\{\,X : X\subseteq Y\land |X|=\kappa\,\big\} \] という記法を用いる. \(\mathrm{cf}(\lambda)\) から \(f(\lambda)\) への関数は \(\mathrm{cf}(\lambda)\times f(\lambda)\) の部分集合で, 濃度は \(\mathrm{cf}(\lambda)\) であるから, \({}^{\mathrm{cf}(\lambda)}f(\lambda)\subseteq[\mathrm{cf}(\lambda)\times f(\lambda)]^{\mathrm{cf}(\lambda)}\) である. いま \(|\mathrm{cf}(\lambda)\times f(\lambda)|=f(\lambda)\) であるから, \(\big|[f(\lambda)]^{\mathrm{cf}(\lambda)}\big|\leq(f(\lambda))^+\) を示せば証明が済む.
以下、記号の簡略化のために \(\kappa=\max\{\omega_1,\mathrm{cf}(\lambda)\}\) とする. もちろん \(\kappa<\lambda\) である. 仮定\(\mathrm{(CL)}\)により, \[ [f(\lambda)]^{\mathrm{cf}(\lambda)}=\bigcup_{Y\in[f(\lambda)]^\kappa\cap\mathbf{L}}[Y]^{\mathrm{cf}(\lambda)} \] となっている. \(Y\in[f(\lambda)]^\kappa\) のとき, \(|[Y]^{\mathrm{cf}(\lambda)}|\leq2^{\kappa}<f(\lambda)\) である. また, \([f(\lambda)]^\kappa\cap\mathbf{L}\subseteq\mathcal{P}(f(\lambda))\cap\mathbf{L}=\big(\mathcal{P}(f(\lambda))\big)^{\mathbf{L}}\) であり, \(\mathbf{L}\) において\(\mathrm{GCH}\)が成立していることから \[ \big|\mathcal{P}(f(\lambda))\cap\mathbf{L}\big|=\big|\big(\mathcal{P}(f(\lambda))\big)^{\mathbf{L}}\big| \leq\big((f(\lambda))^+\big)^{\mathbf{L}}\leq (f(\lambda))^+ \] である. こうして \([f(\lambda)]^{\mathrm{cf}(\lambda)}\) は濃度 \(f(\lambda)\) 未満の集合高々 \((f(\lambda))^+\) 個の和集合であるから, \(\big|[f(\lambda)]^{\mathrm{cf}(\lambda)}\big|\leq(f(\lambda))^+\) となる.