\(\lambda=\omega_{\omega_1}\) とする. すべての可算順序数 \(\alpha\) について \(2^{\omega_\alpha}=\omega_{\alpha+1}\) であったと仮定する. 各 \(\alpha\) ごとに単射 \(p_\alpha\colon\mathcal{P}(\omega_{\alpha})\to\omega_{\alpha+1}\) を選んで固定する.
各 \(X\subseteq\lambda\) に対し \(f_X\colon\omega_1\to\lambda\) を \(\alpha\mapsto p_\alpha(X\cap\omega_\alpha)\) によって定める. \(X_0\neq X_1\) のとき, じゅうぶん大きなすべての可算順序数 \(\alpha\) について \(X_0\cap\omega_\alpha\neq X_1\cap\omega_\alpha\), したがって \(f_{X_0}(\alpha)\neq f_{X_1}(\alpha)\) である. すなわち, \(f_{X_0}(\alpha)=f_{X_1}(\alpha)\) となる可算順序数 \(\alpha\) の全体は \(\omega_1\) において上に有界である.
そこで \[ \mathcal{F}=\{\,f_X\mid X\subseteq \lambda\,\} \] とすると, \(\mathcal{F}\) は \(\omega_1\) から \(\lambda\) への関数のe.d.族であって, \(|\mathcal{F}|=2^\lambda\) であり, さらに各 \(f\in\mathcal{F}\) についてすべての \(\alpha<\omega_1\) で \(f(\alpha)<\omega_{\alpha+1}\) となる. これが示すべきことであった.