\(\mathcal{F}\subseteq{}^{\omega_1}\lambda\) はe.d.族で, \(\forall f\in\mathcal{F}(\{\alpha<\omega_1\mid f(\alpha)<\omega_\alpha\}\)は定常集合\()\)となっているものとする. 各 \(\alpha<\omega_1\) に対して \(|f(\alpha)|\leq\omega_\beta\) となる最小の \(\beta\) を \(f^*(\alpha)\) と書こう. すると \(f\in\mathcal{F}\) に対して \(f^*\in{}^{\omega_1}\omega_1\) で, \(\{\,\alpha<\omega_1\mid f^*(\alpha)<\alpha\,\}\) が定常集合である. そこで押し下げ補題(第II章補題6.15)により定常集合 \(S_f\subseteq\omega_1\) が存在して, ある可算順序数 \(\beta\) について \(\alpha\in S_f\rightarrow f^*(\alpha)=\beta\) である. このとき制限関数 \(f\restriction S_f\) は \(S_f\) から \(\omega_{\beta+1}\) への関数なので \(\omega_1\times\omega_{\beta+1}\) の部分集合とみられる. 仮定により, \(\omega_1\times\omega_{\beta+1}\) の部分集合は全部で \(2^{\omega_{\beta+1}}=\omega_{\beta+2}\)個しかないので, すべての \(\beta<\omega_1\) について該当する制限関数 \(f\restriction S_f\) を集めても, 全部で高々 \(\lambda\) 個しかない.
さて, \(\mathcal{F}\) はe.d.族であり, 各 \(f\in\mathcal{F}\) について \(S_f\) は \(\omega_1\) において定常, したがって非有界であるから, \[ f_0,f_1\in\mathcal{F},\;f_0\neq f_1\rightarrow f_0\restriction S_{f_0}\neq f_1\restriction S_{f_1} \] となっている. すなわち対応 \(f\mapsto f\restriction S_f\) は単射である. いま \(f\restriction S_f\) の形の制限関数が高々 \(\lambda\) 個しかないので, \(|\mathcal{F}|\leq\lambda\) である.