関数 \(g\colon\omega_1\to\lambda\) について \(\forall\alpha<\omega_1(g(\alpha)<\omega_{\alpha+1})\) であったとする. このとき, 各 \(\alpha<\omega_1\) ごとに全単射 \(h_\alpha\colon\lambda\to\lambda\) を \(\xi<g(\alpha)\rightarrow h_\alpha(\xi)<\omega_\alpha\) となるようにとれる.
各 \(f\in\mathcal{F}\) に対して \(\tilde f\colon\omega_1\to\lambda\) を \(\tilde f(\alpha)=h_\alpha(f(\alpha))\) と定める. すると, \(f(\alpha)<g(\alpha)\) のとき \(\tilde f(\alpha)<\omega_{\alpha}\) である. また, \(f_0(\alpha)\neq f_1(\alpha)\) のときには \(\tilde f_0(\alpha)=h_\alpha(f_0(\alpha))\neq f_\alpha(f_1(\alpha))=\tilde f_1(\alpha)\) なので, \(f_0\) と \(f_1\) が遠方で出会わないなら, \(\tilde f_0\) と \(\tilde f_1\) も遠方で出会わない.
いま, \(\mathcal{F}\subseteq{}^{\omega_1}\lambda\) はe.d.族で, 各 \(f\in\mathcal{F}\) について \(\{\alpha<\omega_1\mid f(\alpha)<g(\alpha)\,\}\) が定常集合である. このとき, 上のパラグラフの議論により, \(\tilde{\mathcal{F}}=\{\tilde f\mid f\in\mathcal{F}\}\) もe.d.族で, 各 \(f\in\mathcal{F}\) について \(\{\alpha<\omega_1\mid \tilde f(\alpha)<\omega_\alpha\,\}\) が定常集合である. よって前問[H4]の結果により \(|\tilde{\mathcal{F}}|\leq\lambda\) である. 対応 \(f\mapsto\tilde f\) は単射であるから, このとき \(|\mathcal{F}|\leq\lambda\) である.