\(G \times G\) が \(M\) 上 \(\mathbb{P} \times \mathbb{P}\)-ジェネリックフィルターだったとする．定理1.4.により，\(G\) が \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルターであり，\(G\) は \(M[G]\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルターでもある．\(\mathbb{P}\) はアトムを持たないので第VII章補題2.4.により，\(G \notin M[G]\) である. これは矛盾である．