まず，\(G*H\) が \(\mathbb{P}*\pi\) のフィルターであることを示す．\(G*H\) が上に閉じていること（すなわち，第II章定義2.4(b)の性質を満たすこと）は明らかである．第II章定義2.4(a)の性質を満たすことを示す．
\(\langle p, \tau \rangle, \langle q, \sigma \rangle \in G*H\) とする．\(\tau_G , \sigma_G \in H\) から，\(m \in H\) を \(m \leq \tau_G\) かつ \(m \leq \sigma_G\) となるようにとる．\(m \in \pi_G\) から，\(\mu \in \operatorname{dom}(\pi)\) を \(\mu_G=m\) となるようにとる．\(s \in G\) を \(s \,{\|\kern-0.40em-}\, (\mu \leq \tau\) かつ \(\mu \leq \sigma )\) となるようにとる．\(t \in G\) を \(s,p,q\) の共通下界であるようにとる．このとき，\(\langle t, \mu \rangle \in G*H\) であり，\(\langle t, \mu \rangle\) は \(\langle p, \tau \rangle, \langle q, \sigma \rangle\) の共通下界である．
\(G*H\) が \(M\) 上 \(\mathbb{P}*\pi\)-ジェネリックであることを示す．\(D \in M\) を \(\mathbb{P}*\pi\) の稠密部分集合とする．
ここで，二つの補題を用意する．
(補題1) : \(\langle s,\mu \rangle \in \mathbb{P}*\pi\) とする．\(F_{\langle s,\mu \rangle} = \{ p \in \mathbb{P} : \exists \tau (\langle p, \tau \rangle \in D \text{かつ} p \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau \leq \mu) \} \in M\) は \(s\) 以下で稠密である．
(証明) : \(t \leq s\) とする．\(\langle t, \mu \rangle \in \mathbb{P}*\pi\) なので, \(\langle p, \tau \rangle \in D\) を \(\langle p, \tau \rangle \leq \langle t, \mu \rangle\) となるようにとる．このとき，\(p \leq t\) かつ \(p \in F_{\langle s,\mu \rangle}\) である．
(補題2) : \(E = \{ \tau_G \in \pi_G : \exists p \in G (\langle p, \tau \rangle \in D)\} \in M[G]\) は \(\pi_G\) の稠密部分集合である．
(証明) : \(m \in \pi_G\) とする．\(\mu \in \operatorname{dom}(\pi)\) を \(\mu_G=m\) となるようにとる．\(s \in G\) を \(s \,{\|\kern-0.40em-}\, \mu \in \pi\) となるようにとる．\(\langle s,\mu \rangle \in \mathbb{P}*\pi\) かつ \(s \in G\) であるから，(補題1)と第VII章補題2.20(b)を適用し，\(p \in G \cap F_{\langle s,\mu \rangle}\) をとる．\(p \in F_{\langle s,\mu \rangle}\) から \(\langle p, \tau \rangle \in D\) を \(p \,{\|\kern-0.40em-}\, \tau \leq \mu\) となるようにとる．このとき，\(\tau_G \in E\) かつ \(\tau_G \leq m\) である．
本題に戻る．(補題2)により，\(t \in H \cap E\) をとる．\(\langle p, \tau \rangle \in D\) を \(p \in G\) かつ \(\tau_G=t\) となるようにとる．\(p \in G\) かつ \(\tau_G \in H\) から，\(\langle p, \tau \rangle \in G*H\) である．すなわち，\((G*H) \cap D \neq \emptyset\)である．
この解答に不具合を発見した方はぜひご指摘ください.