定義としては \(\kappa^{<\lambda}\) は \(\kappa\) 未満の順序数の長さ \(\lambda\) 未満の列の全体の集合 \({}^{<\lambda}\kappa\) の濃度である.
\(\kappa\leq1\) のときは言うことはほとんどないので, 以下 \(\kappa\geq2\) であるものとする.
問題となっている等式
\[
\kappa^{<\lambda}=\sup\big\{\,\kappa^\theta\,:\,\theta<\lambda
\land\theta\text{ は基数}\,\big\}\tag{1}
\]
の右辺は, \({}^{<\lambda}\kappa\) のメンバーのうち長さが基数であるもの全体の集合の濃度になっているから, 左辺\(\geq\)右辺 であることはすぐにわかる.
逆向きの不等号を示すために, \(\lambda\) 未満の順序数 \(\alpha\) ごとに全単射 \(h_\alpha:\alpha\to|\alpha|\) を選んで固定し, さらに
\[
E=\big\{\,\langle \alpha,f\rangle\,:\,\alpha<\lambda\land f:|\alpha|\to\kappa\,\}
\]
とおくと, \(\langle \alpha,f\rangle\mapsto f\circ h_\alpha\) によって \(E\) から \({}^{<\lambda}\kappa\) への全単射が得られる. (\(g\mapsto\langle\mathrm{dom}(g),g\circ h_\alpha^{-1}\rangle\) が逆対応.) ゆえに \(|E|=\kappa^{<\lambda}\) である. いっぽう
\[
E_\theta=\big\{\,\langle \alpha,f\rangle
\,:\,|\alpha|=\theta\land f:\theta\to\kappa\,\big\}=\big[\theta,\theta^+)\times{}^\theta\kappa
\]
とおくと \(E\) は, 互いに共通部分をもたない集合 \(E_\theta\) の, \(\lambda\) 未満の基数 \(\theta\) 全体にわたる和集合であり, あきらかに \(|E_\theta|=\theta^+\cdot\kappa^\theta=\kappa^\theta\) である. (この第2の等号をいうには \(\kappa\geq2\) が必要.) したがって \(E_\theta\) の濃度は(1)式の右辺を越えない. また \(\lambda\) 未満の基数 \(\theta\) は高々 \(\lambda\) 個しかない. ゆえに
\[
|E|\leq\lambda\times\sup_{\theta<\lambda}\kappa^\theta
\]
であるが, \(\theta<\kappa^\theta\) より \(\lambda\leq\sup_{\theta<\lambda}\kappa^\theta\) である. こうして(1)における左辺\(\leq\)右辺の不等式が確かめられる.
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