第II章 演習問題 [1]

各 \(n < \omega\) について \(\mathcal{A}_n = \{A \in \mathcal{A} \,:\, |A| = n\}\) とおくと, \(\mathcal{A} = \bigcup_{n < \omega} \mathcal{A}_n\) であるから, ある \(n\) について \(|\mathcal{A}_n| > \omega\) となる. よって \(\mathcal{A} = \mathcal{A}_n\) の場合に証明すれば充分である. \(n\) についての帰納法を用いる. \(n = 0\) の場合は自明なので \(n > 0\) と仮定する. 以下の二通りの場合を考える:

(1) ある \(x\) について \(\{A \in \mathcal{A} \,:\, x \in A\}\) が不可算のときは, 集合族 \(\mathcal{B} = \{A \setminus \{x\} \,:\, A \in \mathcal{A}, x \in A\}\) に帰納法の仮定(\(n-1\) の場合)を適用して, 件の性質を持つ部分族 \(\mathcal{B}'\) を取る.このとき \(\{A \in \mathcal{A}\,:\, A \setminus \{x\} \in \mathcal{B}'\}\) が求める \(\mathcal{A}\) の部分族である.

(2) 上のような \(x\) が存在しないときは, 任意の可算部分族 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) について, 集合 \(\{A \in \mathcal{A} \setminus \mathcal{A}' \,:\, \exists A'\in \mathcal{A}'(A \cap A' \neq 0)\} = \bigcup_{A' \in \mathcal{A}'} \bigcup_{x \in A'} \{A \in \mathcal{A} \setminus \mathcal{A}' \,:\, x \in A\}\) も可算となるので, ある \(A \in \mathcal{A} \setminus \mathcal{A}'\) が存在して \(A \cap \bigcup \mathcal{A}' = 0\) となる.このことから, 超限帰納法(と選択公理)を用いて \(\mathcal{A}\) の異なる要素 \(A_\alpha\)\((\alpha < \omega_1)\) を \(A_\alpha \cap A_\beta = 0\) \((\alpha \neq \beta)\)となるように選べる.この \((A_\alpha)_{\alpha < \omega_1}\) が求める \(\mathcal{A}\) の部分族である.

 

解答者: 縫田光司さん (公開日: 2011年6月1日)

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