第II章 演習問題 [12]

より一般に, 密着位相ではない位相空間 \(X_\alpha\) たちの直積空間 \(X = \prod_{\alpha < \omega_1} X_\alpha\) について, もし \(X\) 自身が第1類でなくc.c.c.を満たすならば, \(X\) は \(\omega_1\) 個のいたるところ非稠密な閉集合の和で表される第1類でない部分集合を含むことを証明する. これが示せたとすると, 各 \(X_\alpha\) がコンパクト, ハウスドルフ, 可分かつ \(|X_\alpha| \geq 2\) のとき(特に, \(X_\alpha = [0, 1]\) や \(X_\alpha = 2\) のとき)に \(X = \prod_{\alpha < \omega_1} X_\alpha\) が問題文の条件を満たす例となる. 実際, このとき \(X\) はハウスドルフ, かつ(チコノフの定理より)コンパクトとなり, 従って \(X\) はベール空間(特に \(X\) 自身も第1類ではない集合)となる. また演習問題3の結果より \(X\) は可分であり, 補題1.8よりc.c.c.を満たす. 以下, 冒頭の主張を示す. 各 \(\alpha < \omega_1\) ごとに真部分閉集合 \(0 \neq F_\alpha \subset X_\alpha\) を選んでおく. \[ Y = \{\,f \in X \,:\, \exists \alpha_0 < \omega_1 \forall \alpha < \omega_1 [ \alpha \geq \alpha_0 \to f(\alpha) \in F_\alpha ]\,\} \] と定義する. すると \(Y\) は \(\omega_1\) 個の空でない閉集合 \[ Y_{\alpha_0} = \prod_{\alpha < \alpha_0} X_\alpha \times \prod_{\alpha_0 \leq \alpha < \omega_1} F_\alpha \subset X \qquad( \alpha_0 < \omega_1 ) \] の和集合となる. 各 \(Y_{\alpha_0}\) がいたるところ非稠密であることを示すために, 直積空間 \(X\) の開基の任意の要素 \(U\) を取ると, \(U\) の \(X_\alpha\) への射影 \(U_\alpha\) が \(X_\alpha\) 自身と一致しない \(\alpha < \omega_1\) は有限個しかないので, ある \(\alpha_0 \leq \alpha < \omega_1\) について \(U_\alpha = X_\alpha\) となる. よって \(U \not\subset Y_{\alpha_0}\) であり, \(Y_{\alpha_0}\) はいたるところ非稠密である.

あとは \(Y\) が第1類でないことを示せばよい. 今, \(Y\) が第1類である, 即ちいたるところ非稠密な閉集合 \(H_n \subset X\) \((n < \omega)\) が存在して \(Y \subset \bigcup_{n < \omega} H_n\) となると仮定する. 各 \(n < \omega\) について, 互いに交わらず \(X \setminus H_n\) に含まれる \(X\) の開基の要素たちからなる極大な族 \(\mathcal{A}_n\) を(ツォルンの補題を用いて)取ると, \(X\) がc.c.c.を満たすことから \(\mathcal{A}_n\) は(従って \(\mathcal{A} = \bigcup_{n < \omega} \mathcal{A}_n\) も)可算であり, また極大性と \(X \setminus H_n\) が稠密であることより \(\bigcup \mathcal{A}_n\) も稠密である. ここで, 直積位相の開基の定義と \(|\mathcal{A}| < \omega_1 = \mathrm{cf}(\omega_1)\) であることより, ある \(\delta < \omega_1\) が存在して, 各 \(U \in \mathcal{A}\) は \(X' = \prod_{\alpha < \delta} X_\alpha\) のある開集合 \(W_U\) と \(X'' = \prod_{\delta \leq \alpha < \omega_1} X_\alpha\) との直積となる(各 \(U \in \mathcal{A}\) について \(\prod_{\delta_U \leq \alpha < \omega_1} X_\alpha\) が \(U\) の直積因子となるような \(\delta_U < \omega_1\) を取ると, \(|\mathcal{A}| < \mathrm{cf}(\omega_1)\) より \(\{\,\delta_U \,:\, U \in \mathcal{A}\,\}\) は \(\omega_1\) で有界である). 各 \(n < \omega\) について, \(V_n = \bigcup_{U \in \mathcal{A}_n} W_U\) と置くと \(\bigcup \mathcal{A}_n = V_n \times X''\) は \(X\) の稠密な開集合なので, \((X' \setminus V_n) \times X''\) は \(X\) のいたるところ非稠密な閉集合である. 前提より \(X\) は第1類でないので \(X \neq \bigcup_{n < \omega} ((X' \setminus V_n) \times X'') = (X' \setminus \bigcap_{n < \omega} V_n) \times X''\), 従って \(\bigcap_{n < \omega} V_n \neq 0\) である. このとき \[ Z = (\bigcap_{n < \omega} V_n) \times \prod_{\delta_U\leq\alpha < \omega_1} F_\alpha \] と置くと, \(0 \neq Z \subset Y_\delta\) であり, また任意の \(n < \omega\) について \(Z \subset V_n \times X'' = \bigcup \mathcal{A}_n \subset X \setminus H_n\), 従って \(Z \subset \bigcap_{n < \omega} (X \setminus H_n) = X \setminus \bigcup_{n < \omega} H_n\) である. よって \(Y_b \setminus \bigcup_{n < \omega} H_n \neq 0\) となるが, これは矛盾である. 以上より \(Y\) は第1類でないので, 主張が示された

 

解答者: 縫田光司さん (公開日: 2011年6月7日)

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