第IV章 演習問題 [32]

まず, 以下の補題を示しておく:

補題. \(\kappa\) が正則基数であり, \(\kappa\) -アロンシャイン木が存在するならば, うまく刈り込まれた \(\kappa\) -アロンシャイン木 \(T\) で, 任意の \(s \in T\) について \(|\{t \in T \,:\, t > s \land \mathrm{ht}(t,T) = \mathrm{ht}(s,T) + 1\}| \geq 2\) を満たすものが存在する.

証明. はじめに, \(T\) がうまく刈り込まれた \(\kappa\) -アロンシャイン木, \(T'\) が \(\forall s \in T' [|\{t \in T' \,:\, t > s \land \mathrm{ht}(t,T') = \mathrm{ht}(s,T') + 1\}| \geq 2]\) を満たすうまく刈り込まれた \(\kappa\) -木であれば, 演習問題35の意味での直積 \(T \times T'\) が所望の条件を満たすことを示す. 演習問題35の解答で示した通り, \(T \times T'\) は \(\kappa\) -アロンシャイン木である. \(|\mathrm{Lev}_0(T)| = |\mathrm{Lev}_0(T')| = 1\) より \(|\mathrm{Lev}_0(T \times T')| = 1\) である. 各 \(\langle s,s' \rangle \in \mathrm{Lev}_\alpha(T \times T')\) と \(\beta > \alpha\) なる \(\beta < \kappa\) について, \(T\) と \(T'\) がうまく刈り込まれた \(\kappa\) -木であることから, \(\mathrm{ht}(t,T) = \mathrm{ht}(t',T') = \beta\), \(t > s\) かつ \(t' > s'\) を満たす \(t \in T\) と \(t' \in T'\) が存在する. このとき \(\mathrm{ht}(\langle t,t' \rangle) = \beta\) かつ \(\langle t,t' \rangle > \langle s,s' \rangle\) となるので, \(T \times T'\) はうまく刈り込まれた \(\kappa\) -木である. さらに各 \(\langle s,s' \rangle \in T \times T'\) について, \(\alpha = \mathrm{ht}(\langle s,s' \rangle,T \times T')\) と置くと, \(T\) がうまく刈り込まれた \(\kappa\) -木であることから \(t > s\) を満たす \(t \in \mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T)\) が存在し, 一方 \(T'\) の選び方から \(t'_1 > s'\) と \(t'_2 > s'\) を満たす異なる \(t'_1,t'_2 \in \mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T')\) が存在する. このとき \(\langle t,t'_1 \rangle\) と \(\langle t,t'_2 \rangle\) はともに \(\langle s,s' \rangle\) より大きな \(\mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T \times T')\) の元である. 以上より上の主張が成り立つ.

今, この補題の仮定と補題5.11よりうまく刈り込まれた \(\kappa\) -アロンシャイン木が存在するので, 上の結果を踏まえると, 上の条件を満たす \(T'\) の存在を示せば充分である. \(T'\) として, \(\{f \in {}^{< \kappa} 2 \,:\, |\{\alpha \in \mathrm{dom}(f) \,:\, f(\alpha) = 1\}| < \omega\}\) に包含関係 \(\subset\) で順序を定めた半順序を取れば, これは確かに上の条件を満たす木となるので, 主張が成り立つ. \(\square\)

定理5.9と上の補題より, うまく刈り込まれた \(\omega_1\) -アロンシャイン木 \(T\) で, 任意の \(s \in T\) について \(|\{t \in T \,:\, t > s \land \mathrm{ht}(t,T) = \mathrm{ht}(s,T) + 1\}| \geq 2\) を満たすものが存在する. \(T\) は \(\omega_1\) -木なので各 \(\alpha < \omega_1\) について \(\mathrm{Lev}_\alpha(T)\) は可算であり, 単射 \(\iota_\alpha \,:\, \mathrm{Lev}_\alpha(T) \to \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) が存在する. この \(\iota_\alpha\) を, 各 \(s \in T\) について \(\{\iota_{\mathrm{ht}(s,T) + 1}(t) \,:\, t \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}(s,T) + 1}(T) \land t > s\}\) が正の整数も負の整数も含むように選んでおく. \(T\) の選び方よりこのようなことが可能である. (具体的には, 各後続型順序数 \(\alpha = \alpha_0 + 1 < \omega_1\) について, 各 \(s \in \mathrm{Lev}_{\alpha_0}(T)\) ごとに \(t_s > s\) となる \(t_s \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) を一つずつ選んでおき, \(I = \{t_s \,:\, s \in \mathrm{Lev}_{\alpha_0}(T)\}\) から正の整数全体への単射と \(\mathrm{Lev}_\alpha(T) \setminus I\) から負の整数全体への単射を取ってそれらを組み合わせたものを \(\iota_\alpha\) とすればよい.) 各 \(s \in T\) と \(\alpha \leq \mathrm{ht}(s,T)\) について, \(t \leq s\) を満たす \(t \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) が一意に存在するのでそれを \(\pi_\alpha(s)\) と置く. ここで各 \(s \in T\) と \(\alpha < \omega_1\) について, \(\alpha > \mathrm{ht}(s,T)\) ならば \(\varphi_\alpha(s) = 0\), \(\alpha \leq \mathrm{ht}(s,T)\) ならば \(\varphi_\alpha(s) = \iota_\alpha(\pi_\alpha(s))\) として関数 \(\varphi_\alpha \,:\, T \to \mathbb{Z}\) を定める. そして \(T\) 上の新たな順序 \(\preceq\) を \(s \preceq t \leftrightarrow s = t \lor \exists \alpha < \omega_1 [ \forall \beta < \alpha [ \varphi_\beta(s) = \varphi_\beta(t) ] \land \varphi_\alpha(s) < \varphi_\alpha(t) ]\) として定める. このとき, \(s,t \in T\), \(s \neq t\) であればある \(\alpha < \omega_1\) について \(\varphi_\alpha(s) \neq \varphi_\alpha(t)\) となる ( \(\mathrm{ht}(s,T) < \mathrm{ht}(t,T)\) であれば \(\alpha = \mathrm{ht}(t,T)\) について \(\varphi_\alpha(s) = 0 \neq \varphi_\alpha(t)\), また \(\mathrm{ht}(s,T) = \mathrm{ht}(t,T)\) であれば \(\alpha = \mathrm{ht}(s,T)\) について \(\varphi_\alpha(s) \neq \varphi_\alpha(t)\) ) ことより, \(\langle T,\preceq \rangle\) は全順序である.

\(\langle T,\preceq \rangle\) が型 \(\omega_1\) の上昇列または下降列 \(\langle s_\alpha \,:\, \alpha < \omega_1 \rangle\) を持つと仮定して矛盾を導く. \(\langle T,\leq \rangle\) は \(\omega_1\) -アロンシャイン木なので, \(\langle T,\leq \rangle\) から濃度が \(\omega_1\) の鎖を見つければ充分である. 以下, 各 \(\alpha < \omega_1\) について以下の条件を満たす \(\xi_\alpha < \omega_1\) を超限帰納法で構成する:

  1. \(\alpha < \omega_1\) ならば \(\mathrm{ht}(s_{\xi_\alpha},T) \geq \alpha\)
  2. \(\gamma \leq \beta < \alpha < \omega_1\) ならば \(\pi_\gamma(s_{\xi_\beta}) = \pi_\gamma(s_{\xi_\alpha})\)

  3. \(\gamma \leq \alpha < \omega_1\), \(\xi_\alpha \leq \beta < \omega_1\) ならば \(\mathrm{ht}(s_\beta,T) \geq \alpha\) かつ \(\pi_\gamma(s_\beta) = \pi_\gamma(s_{\xi_\alpha})\)

\(\alpha = 0\) については \(\xi_0 = 0\) とする (条件3に関して, \(T\) はうまく刈り込まれた木なので \(|\mathrm{Lev}_0(T)| = 1\) であることに注意). 以下, \(\alpha > 0\) とし, \(\alpha\) 未満の順序数については構成が済んでいるものとする. \(\mathrm{cf}(\omega_1) = \omega_1\) なので, \(\{\xi_\beta \,:\, \beta < \alpha\}\) は \(\omega_1\) の中で有界である. その上限を \(\zeta\) と置くと, \(\zeta \leq \beta < \omega_1\) かつ \(\gamma < \alpha\) のとき, \(\xi_\gamma \leq \beta\) であり, \(\alpha\) 未満の順序数についての条件3より \(\pi_\gamma(s_\beta) = \pi_\gamma(s_{\xi_\gamma})\) が成り立つ. よって各 \(\gamma < \alpha\) に対する \(\pi_\gamma(s_\beta)\) は (従って \(\varphi_\gamma(s_\beta)\) も) このような \(\beta\) の取り方に依らず一定である. さて, \(\omega_1 \setminus \zeta\) は不可算なので, ある \(n \in \mathbb{Z}\) については \(I_n = \{\beta \in \omega_1 \setminus \zeta \,:\, \varphi_\alpha(s_\beta) = n\}\) が不可算となる. ここで \(T\) は \(\omega_1\) -木なので高さが \(\alpha\) 未満の元は可算個であり, 従って \(n \neq 0\) となる. \(\xi_\alpha = \min(I_n)\) と定めると, \(\varphi_\alpha(s_{\xi_\alpha}) \neq 0\) なので \(\mathrm{ht}(s_{\xi_\alpha},T) \geq \alpha\) となり, 条件1が満たされる. \(\gamma \leq \beta < \alpha\) のとき, 上の議論と \(\zeta \leq \xi_\alpha\) より \(\pi_\beta(s_{\xi_\alpha}) = \pi_\beta(s_{\xi_\beta})\) であり, 従って \(\pi_\gamma(s_{\xi_\alpha}) = \pi_\gamma(\pi_\beta(s_{\xi_\alpha})) = \pi_\gamma(\pi_\beta(s_{\xi_\beta})) = \pi_\gamma(s_{\xi_\beta})\) となり条件2も満たされる. さらに, \(\xi_\alpha < \beta < \omega_1\) のとき, \(I_n\) は \(\omega_1\) の中で有界でないので \(\beta < \delta\) となる \(\delta \in I_n\) が存在する. このとき \(s_\beta\) は \(\preceq\) に関して \(s_{\xi_\alpha}\) と \(s_\delta\) の間に存在し, また \(\varphi_\alpha(s_{\xi_\alpha}) = n = \varphi_\alpha(s_\delta)\) かつ各 \(\gamma < \alpha\) について上で述べた通り \(\varphi_\gamma(s_{\xi_\alpha}) = \varphi_\gamma(s_\beta) = \varphi_\gamma(s_\delta)\) なので, \(\varphi_\alpha(s_\beta) = n \neq 0\) が導かれる. よって \(\mathrm{ht}(s_\beta,T) \geq \alpha\) であり, \(\iota_\alpha(s_\beta) = \iota_\alpha(s_{\xi_\alpha})\) より \(\pi_\alpha(s_\beta) = \pi_\alpha(s_{\xi_\alpha})\), 従って各 \(\gamma \leq \alpha\) について \(\pi_\gamma(s_\beta) = \pi_\gamma(\pi_\alpha(s_\beta)) = \pi_\gamma(\pi_\alpha(s_{\xi_\alpha})) = \pi_\gamma(s_{\xi_\alpha})\) となり条件3も満たされる. 以上より上の条件を満たす \(\xi_\alpha\) が全ての \(\alpha < \omega_1\) について存在する. ここで各 \(\alpha < \omega_1\) について \(t_\alpha = \pi_\alpha(s_{\xi_\alpha}) \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) と定めると, \(\beta < \alpha < \omega_1\) のとき条件2より \(t_\beta = \pi_\beta(s_{\xi_\beta}) = \pi_\beta(s_{\xi_\alpha}) = \pi_\beta(t_\alpha)\), 従って \(t_\beta < t_\alpha\) となる. よって \(\{t_\alpha \,:\, \alpha < \omega_1\}\) は \(\langle T,\leq \rangle\) の濃度 \(\omega_1\) の鎖となり, 従って \(\langle T,\preceq \rangle\) は型 \(\omega_1\) の上昇列も下降列も持たない.

最後に, \(\langle T,\preceq \rangle\) の任意の可分な部分集合 \(Y\) が \(\langle T,\preceq \rangle\) において至るところ非稠密であることを示す. \(Y\) の可算な稠密部分集合 \(D\) を選んでおく. このとき \(\mathrm{cf}(\omega_1) = \omega_1\) より, ある \(\delta < \omega_1\) が存在して \(\forall s \in D [ \mathrm{ht}(s,T) < \delta ]\) が成り立つ. ここで \(s_1 \prec s_2\) なる \(s_1,s_2 \in T\) を任意に取る. \(\mathrm{ht}(s_1,T) = \alpha \geq \mathrm{ht}(s_2,T)\) のとき, \(t_1 > s_1\) かつ \(\iota_{\alpha + 1}(t_1) > 0\) を満たす \(t_1 \in \mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T)\) を取り ( \(\iota_{\alpha + 1}\) の選び方よりこれは可能である) , また \(t_2 > t_1\) かつ \(\mathrm{ht}(t_2,T) \geq \delta\) を満たす \(t_2 \in T\) を取る ( \(T\) はうまく刈り込まれた木なのでこれは可能である) . さらに \(t_3 > t_2\) かつ \(\iota_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(t_3) < 0\) を満たす \(t_3 \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(T)\) と, \(t_4 > t_2\) かつ \(\iota_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(t_4) > 0\) を満たす \(t_4 \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(T)\) を取る ( \(\iota_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}\) の選び方よりこれは可能である) . このとき, \(s_1 \prec s_2\) かつ \(\mathrm{ht}(s_1,T) = \alpha \geq \mathrm{ht}(s_2,T)\) であることと上の構成法より, \(s_1 \prec t_3 \prec t_4 \prec s_2\) が成り立つ. ここで, もし \(t_3 \in Y\) かつ \(t_4 \in Y\) であるとすると, \(D\) は \(Y\) 中で稠密なのである \(u \in D\) について \(t_3 \prec u \prec t_4\) となり, \(\delta\) と \(t_2\) の選び方より \(\mathrm{ht}(u,T) < \mathrm{ht}(t_2,T)\) となる. 一方, \(t_2 < t_3\) と \(t_2 < t_4\) より各 \(\gamma \leq \mathrm{ht}(t_2,T)\) について \(\varphi_\gamma(t_3) = \varphi_\gamma(t_2) = \varphi_\gamma(t_4)\), 従って \(\varphi_\gamma(u) = \varphi_\gamma(t_2)\) となり, 特に \(\varphi_{\mathrm{ht}(t_2,T)}(u) = \varphi_{\mathrm{ht}(t_2,T)}(t_2) \neq 0\) となる. これは矛盾であるから, \(t_3 \not\in Y\) または \(t_4 \not\in Y\) が成り立つ. 同様に \(\mathrm{ht}(s_1,T) \leq \alpha = \mathrm{ht}(s_2,T)\) のとき, \(t_1 > s_2\) かつ \(\iota_{\alpha + 1}(t_1) < 0\) を満たす \(t_1 \in \mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T)\) と, \(t_2 > t_1\) かつ \(\mathrm{ht}(t_2,T) \geq \delta\) を満たす \(t_2 \in T\) と, \(t_3 > t_2\) かつ \(\iota_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(t_3) < 0\) を満たす \(t_3 \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(T)\) と, \(t_4 > t_2\) かつ \(\iota_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(t_4) > 0\) を満たす \(t_4 \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}(t_2,T) + 1}(T)\) を取ると, \(s_1 \prec t_3 \prec t_4 \prec s_2\) であり, 上と同様の議論により \(t_3 \not\in Y\) または \(t_4 \not\in Y\) が成り立つ. よって, \(\langle T,\preceq \rangle\) の区間 \((s_1,s_2)\) は常に \(Y\) に属さない元を持つので, \(Y\) は至るところ非稠密である. 以上より主張が成り立つ.

 

解答者: 縫田光司さん (公開日: 2011年7月5日)

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