第II章 演習問題 [47]

順序数からなる集合 \(B\) を定義域とする関数 \(f\) で \(\forall \alpha \in B [ f(\alpha) < \alpha ]\) を満たすものを \(B\) 上の縮小関数と呼ぶことにする. まず以下の補題を準備する.

補題.\(\lambda > \omega\) を基数とし, \(\lambda\) 未満の無限基数 \(\mu\) については \(A \cap \mu\) 上の単射な縮小関数が存在するとする. また, \(C_0\) は \(\lambda\) のc.u.b.部分集合であり, その元は全て基数であると仮定する. さらに, \(|A \cap C_0|^+ < \lambda\) と仮定する. このとき, \(A \cap \lambda\) 上の単射な縮小関数が存在する.

[補題の証明]\(\nu_0 = \sup(\{|A \cap C_0|^+, \omega\})\) と置くと, \(\nu_0\) は無限基数であり, 前提より \(\nu_0 < \lambda\) が成り立つ. \(C_0\) は \(\lambda\) のc.u.b.部分集合なので, \(C := C_0 \setminus \nu_0\) と定めると \(C\) も \(\lambda\) のc.u.b.部分集合となる. また, \(C_0\) と同様, \(C\) の元は全て基数である. \(\nu = \sup(\{|A \cap C|^+, \omega\})\) と置くと \(\nu\) は無限基数であり, \(\nu \leq \nu_0 < \lambda\), \(|A \cap C| < \nu\) かつ \(C \cap \nu = 0\) が成り立つ.

\(\gamma \in C \cup \{0\}\) について \(\gamma_+ := \min\{\delta \in C \,:\, \delta > \gamma\}\) と定める( \(C\) は非有界なので \(\gamma_+ \neq 0\) である). まず, 各 \(\alpha \in (A \cap \lambda) \setminus C\) について, \(\gamma < \alpha < \gamma_+\) を満たす \(C \cup \{0\}\) の元 \(\gamma = \gamma(\alpha)\) が存在することを示す(存在すれば明らかに一意である). 問題の前提より \(\alpha \in A\) は無限基数なので, \(0 \in \alpha\), 従って \(\alpha \cap (C \cup \{0\}) \neq 0\) である. \(\gamma = \sup(\alpha \cap (C \cup \{0\}))\) と置く. 定義より \(\gamma \leq \alpha < \lambda\) である. この \(\gamma\) が \(C \cup \{0\}\) の元であることを背理法で示すために, \(\gamma \not\in C \cup \{0\}\) と仮定する. このとき \(\gamma \not\in \alpha \cap (C \cup \{0\})\) なので, \(\gamma\) の定義より \(\gamma\) は \(0\) でない極限順序数であり, かつ \(\alpha \cap (C \cup \{0\})\) は \(\gamma\) の非有界部分集合である. これより \(C \cap \gamma\) も \(\gamma\) で有界でなく, 一方背理法の仮定から \(\gamma \not\in C\) であるが, これは \(C\) が \(\lambda\) の閉集合であることに矛盾する. よって \(\gamma \in C \cup \{0\}\) が成り立つ. すると \(\gamma\) と \(\gamma_+\) の定義より \(\gamma \leq \alpha \leq \gamma_+\) となり, \(\alpha \not\in C \cup \{0\}\) より \(\gamma < \alpha < \gamma_+\) が確かに成り立つ.

次に, \((A \cap \lambda) \setminus C\) 上の単射な縮小関数が存在することを示す. 各 \(\gamma \in C\) について, この補題の前提より \(A \cap \gamma\) 上の単射な縮小関数が存在するので, 選択公理を用いてそのような関数 \(f_\gamma\) を一つずつ選んでおく. ここで, \(\alpha \in (A \cap \lambda) \setminus C\) に対して \(g(\alpha) := \gamma(\alpha) + f_{\gamma(\alpha)_+}(\alpha)\) と定義する. 問題の前提より \(\alpha\) は無限基数なので, 第I章演習問題[5][6]より \(\alpha\) は分解不能である. これと \(\gamma(\alpha),f_{\gamma(\alpha)_+}(\alpha) < \alpha\) より \(g(\alpha) < \alpha\) が成り立つ. あとは \(g\) が単射であることを示せばよい. \(\alpha_1,\alpha_2 \in (A \cap \lambda) \setminus C\) のとき, \(\gamma(\alpha_1) < \gamma(\alpha_2)\) とすると \(g(\alpha_1) < \alpha_1 < \gamma(\alpha_1)_+ \leq \gamma(\alpha_2) \leq g(\alpha_2)\) なので \(g(\alpha_1) \neq g(\alpha_2)\) である. \(\gamma(\alpha_2) < \gamma(\alpha_1)\) のときも同様に \(g(\alpha_1) \neq g(\alpha_2)\) である. \(\gamma(\alpha_1) = \gamma(\alpha_2)\) かつ \(\alpha_1 \neq \alpha_2\) のときは, \(f_{\gamma(\alpha_1)_+}\) ( \(= f_{\gamma(\alpha_2)_+}\) )の単射性より \(f_{\gamma(\alpha_1)_+}(\alpha_1) \neq f_{\gamma(\alpha_2)_+}(\alpha_2)\) なので, \(g(\alpha_1) \neq g(\alpha_2)\) が成り立つ. よって \(g\) は単射であり, 上述の通り \(g\) は \((A \cap \lambda) \setminus C\) 上の縮小関数でもある.

直前の段落で存在を示した \((A \cap \lambda) \setminus C\) 上の単射な縮小関数 \(g\) を一つ選んでおく. \(B_0 := A \cap C\) と置き, \(B_1 := \{\alpha \in (A \cap \lambda) \setminus C \,:\, \alpha \leq |B_0|\}\), \(B_2 := \{\alpha \in (A \cap \lambda) \setminus C \,:\, \alpha > |B_0|\}\) と置く. \(B_0,B_1,B_2\) は互いに交わりを持たず, \(A \cap \lambda = B_0 \cup B_1 \cup B_2\) である. 全単射 \(\varphi \,:\, B_0 \to |B_0|\) を一つ選んでおく. ここで \(A \cap \lambda\) を定義域とする関数 \(f\) を, \(\alpha \in B_0\) のとき \(f(\alpha) := |B_0| + \varphi(\alpha)\), \(\alpha \in B_1\) のとき \(f(\alpha) := g(\alpha)\), \(\alpha \in B_2\) のとき \(f(\alpha) := |B_0| + |B_0| + g(\alpha)\) と定める. この \(f\) が単射な縮小関数であることを示す. \(\alpha \in B_1\) ならば \(f(\alpha) = g(\alpha) < \alpha \leq |B_0|\) が成り立つ. \(\alpha \in B_2\) のとき, \(\alpha \in A\) は無限基数なので第I章演習問題[5][6]より \(\alpha\) は分解不能である. これと \(|B_0| < \alpha\) かつ \(g(\alpha) < \alpha\) より, \(|B_0| + |B_0| \leq f(\alpha) = |B_0| + |B_0| + g(\alpha) < \alpha\) が成り立つ. \(\alpha \in B_0\) のとき, 上と同様に \(\alpha\) は分解不能であり, また \(C\) の選び方より \(\alpha \geq \nu \geq |B_0|^+ > |B_0|\) である. これと \(\varphi(\alpha) < |B_0|\) より \(|B_0| \leq f(\alpha) = |B_0| + \varphi(\alpha) < |B_0| + |B_0| < \alpha\) が成り立つ. よって \(f\) は縮小関数であり, \(\alpha_i \in B_i\) ( \(i = 0,1,2\) )ならば \(f(\alpha_1) < |B_0| \leq f(\alpha_0) < |B_0| + |B_0| \leq f(\alpha_2)\), 従って \(f(\alpha_1) < f(\alpha_0) < f(\alpha_2)\) が成り立つ. さらに, \(g\) と \(\varphi\) はともに単射なので, \(f\) は \(B_0\) と \(B_1\) と \(B_2\) のそれぞれの上で単射である. よって \(f\) 自身が単射となり, \(f\) は \(A \cap \lambda\) 上の単射な縮小関数である. (補題の証明終)

任意の無限基数 \(\lambda\) について \(A \cap \lambda\) 上の単射な縮小関数が存在することを, \(\lambda\) に関する超限帰納法で証明する. これが証明できれば, \(\lambda = |\sup(A)|^+\) とするとき \(A \subset \lambda\) となるので問題の主張が導かれる. \(\lambda = \omega\) のときは, \(A\) が無限基数の集合であることより \(A \cap \lambda = 0\) なので明らかである. \(\lambda\) が後続型基数, \(\lambda = \mu^+\) のときは, 帰納法の仮定より \(A \cap \mu\) 上の単射な縮小関数 \(f\) が存在する. \(A\) は基数の集合なので, \(A \cap \lambda \subset (A \cap \mu) \cup \{\mu\}\) である. \(\mu \not\in A \cap \lambda\) とすると \(f\) 自身が \(A \cap \lambda\) 上の単射な縮小関数であるので, \(\mu \in A \cap \lambda\) のときを考える. ここで \(A\) は無限基数の集合なので, 各 \(\alpha \in A \cap \mu\) について \(f'(\alpha) := 1 + f(\alpha)\) と定めると \(f'\) も \(A \cap \mu\) 上の単射な縮小関数である. これより, \(f'\) の \(A \cap \lambda\) への拡張 \(g\) を \(g(\mu) = 0\) となるように定義すると, \(g\) は \(A \cap \lambda\) 上の単射な縮小関数となる. 残りは \(\lambda\) が \(\omega\) 以外の極限基数の場合のみである.

\(\lambda > \omega\) が正則な極限基数の場合を考える. 問題の前提より \(A \cap \lambda\) は \(\lambda\) の非定常集合なので, \(C_1 \subset \lambda \setminus A\) を満たす \(\lambda\) のc.u.b.部分集合 \(C_1\) が存在する. また, \(\lambda > \omega\) が正則な極限基数なので, \(\mathrm{cf}(\lambda) = \lambda > \omega\), かつ \(\lambda\) より小さい基数全体の集合 \(C_2\) は \(\lambda\) のc.u.b.部分集合となり, 補題6.8(a)より \(C_0 = C_1 \cap C_2\) も \(\lambda\) のc.u.b.部分集合となる. この \(C_0\) は \(\lambda \setminus A\) の部分集合であり, 従って \(|A \cap C_0|^+ = 1 < \lambda\) を満たし, また \(C_0\) の全ての元が基数である. すると超限帰納法の仮定より, \(\lambda\) と \(C_0\) は冒頭の補題の前提を満たすので, 冒頭の補題より \(A \cap \lambda\) 上の単射な縮小関数が存在する.

最後に \(\lambda\) が特異(な極限)基数の場合を考える. 共終写像 \(f \,:\, \mathrm{cf}(\lambda) \to \lambda\) を一つ選ぶ. 次に写像 \(f' \,:\, \mathrm{cf}(\lambda) \to \lambda\) を, \(f'(0) := |f(0)|^+\), \(\alpha + 1 < \mathrm{cf}(\lambda)\) が後続型順序数のとき \(f'(\alpha + 1) := |\sup(\{f'(\alpha),f(\alpha)\})|^+\), \(\alpha < \mathrm{cf}(\lambda)\) が \(0\) でない極限順序数のとき \(f'(\alpha) := \sup(\{f'(\beta) \,:\, \beta < \alpha\})\) として超限帰納法により定義する. \(\lambda\) は極限基数なので, 各 \(f'(\alpha)\) が \(\lambda\) より小さい基数であることが \(\alpha < \mathrm{cf}(\lambda)\) に関する超限帰納法で示される( \(\alpha\) が極限順序数ならば, \(\{f'(\beta) \,:\, \beta < \alpha\}\) は濃度が高々 \(|\alpha| < \mathrm{cf}(\lambda)\) なので \(\lambda\) において有界である). また, \(f'\) が単調増加であることが超限帰納法で示される. さらに, 各 \(\alpha\) について \(f(\alpha) < f'(\alpha + 1)\) かつ \(f\) が共終なので, \(f'\) も共終写像である. これより \(f'\) の像を \(C_0\) と置くと, \(C_0\) は \(\lambda\) の非有界な部分集合でありその元は全て基数である. この \(C_0\) が閉集合であることを示す. \(\gamma < \lambda\) が \(0\) でない極限順序数とし, \(C_0 \cap \gamma\) が \(\gamma\) において非有界と仮定する. \(B := \{\alpha < \mathrm{cf}(\lambda) \,:\, f'(\alpha) < \gamma\}\), \(\delta := \sup(B)\) と定める( \(C_0 \cap \gamma \neq 0\) なので \(B \neq 0\) であることに注意). もし \(\delta \in B\) であると仮定すると, \(C_0 \cap \gamma\) が \(\gamma\) において非有界なので \(f'(\delta)\) より大きな \(C_0 \cap \gamma\) の元 \(f'(\beta)\) が存在し, \(f'\) の単調増加性より \(\delta < \beta \in B\) となるが, これは \(\delta\) の定義と矛盾する. よって \(\delta \not\in B\) であり, 従って \(\delta\) は \(0\) でない極限順序数である. \(f'\) は単調増加なので \(B = \delta\) が成り立つ. また, \(\gamma < \lambda\) かつ \(f'\) が単調増加な共終写像なので, \(B\) は \(\mathrm{cf}(\lambda)\) の中で有界であり, 特に \(\delta < \mathrm{cf}(\lambda)\) である. すると \(f'\) の定義より \(f'(\delta) = \sup(\{f'(\beta) \,:\, \beta < \delta\}) = \sup(\{f'(\beta) \,:\, \beta \in B\})\) となり, \(B\) の定義より \(f'(\delta) \leq \gamma\) が成り立つ. 一方 \(\delta \not\in B\) より \(f'(\delta) \geq \gamma\) が成り立つ. よって \(f'(\delta) = \gamma\) となり, \(\gamma \in C_0\) が成り立つ. これより \(C_0\) は閉集合, 従って \(\lambda\) のc.u.b.部分集合である. さらに \(\lambda\) は特異基数なので \(|A \cap C_0| \leq |C_0| = \mathrm{cf}(\lambda) < \lambda\) であり, \(\lambda\) は極限基数なので \(|A \cap C_0|^+ < \lambda\) が成り立つ. これらと超限帰納法の仮定より, \(\lambda\) と \(C_0\) は冒頭の補題の前提を満たすので, 冒頭の補題より \(A \cap \lambda\) 上の単射な縮小関数が存在する. 以上で問題の主張が示された.

 

解答者: 縫田光司さん (公開日: 2011年11月18日)

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