第II章 演習問題 [55]

*問題の状況で,全ての \(\alpha < \omega_1\) について \(A_\alpha := 0\) と定めると,任意の定常集合 \(A \subset \omega_1\) について \(\alpha := \min(A)\) とおくことで \(A \cap \alpha = A_\alpha\) (\(=0\)) が成り立ってしまい,件の言明が意に反して成立してしまう.そこで,以下ではひとまず件の言明の条件を \[ \exists \alpha \in A\;\big(\,\alpha \neq \min(A) \land A \cap \alpha = A_\alpha\,\big) \] に取り換えて進めることにする.

**以下の証明を見ると,条件を上のように取り換える代わりに「\(\alpha > 0\) については \(A_\alpha \neq 0\)」という制約 (のみならず,下の集合 \(X\) が定常集合となることを保証する何らかの制約) を付け加えても主張が成立するようになることがわかる.

各 \(\alpha < \omega_1\) ごとに \(\alpha\) の部分集合 \(A_\alpha\) が定まっているものとする.\(X := \{\alpha < \omega_1 \,:\, A_\alpha \neq 0\}\) とおく.まず,\(X\) が定常集合でないとすると,\(X\) と交わりを持たないc.u.b.部分集合 \(C \subset \omega_1\) が存在する.この \(C\) は定常集合であるが,どんな \(\min(C) \neq \alpha \in C\) についても \(C \cap \alpha \neq 0 = A_\alpha\) となる.よってこの場合は問題の条件が成り立たない.

一方,\(X\) が定常集合であるとする.\(X\) の選び方より,関数 \(f \,:\,X \to \omega_1\),\(f(\alpha) := \min(A_\alpha)\) が定義される.各 \(A_\alpha\) が \(\alpha\) の部分集合なので,この関数は任意の \(\alpha \in X\) について \(f(\alpha) < \alpha\) を満たし,従って押し下げ補題よりある \(\beta < \omega_1\) について \(A := f^{-1}\{\beta\}\) は \(\omega_1\) の定常部分集合となる.\(f\) の定義より \(\beta \not\in A\) である.すると,どの \(\alpha \in A\) についても,\(\beta \not\in A \cap \alpha\) である一方,\(f(\alpha) = \beta\) と \(f\) の定義より \(\beta \in A_\alpha\) が成り立つ.従って \(A \cap \alpha \neq A_\alpha\) となることから,この場合も問題の条件が成り立たない.以上より問題の主張が成り立つ.

 

解答者: 縫田 光司さん (公開日: 2012年5月4日)

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