第III章 演習問題 [11]

集合 \(A\) の整列順序づけ \(\triangleleft\) が与えられているとしよう. \({}^{<\omega}A\) の部分木 \(T\) が整礎的でないとしたら, 部分集合 \(S\) を \[ S\neq 0\land \forall x\in S\exists y\in S\big(\,y > x\,\big) \tag{1} \] となるようにとれる. そこで, \(x_0\) を \(S\) の任意の要素とし, \(x_n\) が定まったら \(x_{n+1}\) を 集合 \(\{\,y\in S\,:\,y>x_n\,\}\) の \(\triangleleft\)-最小要素と定めて, \(T\) の無限鎖 \(\{\,x_n\,:\,n\in\omega\,\}\) を得る.

逆に \(T\) に無限鎖があったとしたら, (そのようなものはどれも \(<\) に関して順序型 \(\omega\) 以上の整列順序をなすので) 順序型 \(\omega\) の無限鎖 \(S\) も必ずある. この \(S\) は条件(1)をみたすから \(T\) が整礎的であることの反例となる.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年6月9日)

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