第IV章 演習問題 [22]

まず最初にいくつか基本的な補題を証明しよう. このうち補題2は本文第III章補題2.10の一般化といえる.

補題 1 各 \(R(\alpha,A)\) は推移的集合である. したがって \(\mathbf{WF}(A)\) も推移的である.

【証明】 まず \(\alpha=0\) のときは \(R(0,A)=\mathrm{tr\,cl}(\{A\})\) だから推移的であり, \(R(\alpha,A)\) が推移的なら \(R(\alpha+1,A)\) はその冪集合だから推移的であり, \(\alpha\) が極限順序数なら \(R(\alpha,A)\) はより小さい \(\xi\) についての \(R(\xi,A)\) の和であって, 各 \(R(\xi,A)\) \((\xi<\alpha)\) が推移的なら \(R(\alpha,A)\) も推移的である. こうして超限帰納法によりすべての \(R(\alpha,A)\) は推移的である. \(\square\)

補題 2 任意の集合 \(A\) と \(x\) について \[ x\subset\mathbf{WF}(A)\;\leftrightarrow\;x\in \mathbf{WF}(A) \]となっている.

【証明】 \((\rightarrow)\): もしも \(x\subset\mathbf{WF}(A)\) だったら, 置換公理により, ある順序数 \(\beta\) について \(x\subset R(\beta,A)\) となる. このとき \(x\in R(\beta+1,A)\subset\mathbf{WF}(A)\) である. いっぽう, \((\leftarrow)\) は \(\mathbf{WF}(A)\) の推移性で, それは補題 1で示してある. \(\square\)

補題 3 すべての順序数 \(\alpha\) について \(R(\alpha)\subset R(\alpha,A)\) である.

【証明】 \(\alpha\) に関する超限帰納法による. \(\square\)

さて, クラス \(\mathbf{WF}(A)\) が外延性の公理をみたすことは推移性から明らかである. また, \(x\in\mathbf{WF}(A)\) のとき \(x\) のすべての部分集合 \(y\) が補題2により \(\mathbf{WF}(A)\) に属するので \(\mathbf{WF}(A)\) は内包性公理をみたす. また, このとき \(\mathcal{P}(x)\subset\mathbf{WF}(A)\), したがってふたたび補題2より \(\mathcal{P}(x)\in\mathbf{WF}(A)\) となるので, \(\mathbf{WF}(A)\) は冪集合の公理をもみたす. \(\mathbf{WF}(A)\) が対の公理と和集合の公理をみたすことも同様に補題2を使えばすぐにわかる. 無限公理は補題3により成立する.

置換公理について考えよう. \(a\in\mathbf{WF}(A)\) とし, 式 \(\phi\) について \[ \big(\forall x\in a\exists!y\,\phi(x,y)\big)^{\mathbf{WF}(A)} \]を仮定する. この式は, \[ \forall x\in a\exists !y\,\big(\,y\in\mathbf{WF}(A)\land \phi(x,y)^{\mathbf{WF}(A)}\,\big) \]と同値である. そこで \(\mathbf{V}\) における置換公理によって, 集合 \(b\) を \[ \forall x\in a\exists y\in b\,\big(\,y\in\mathbf{WF}(A)\land \phi(x,y)^{\mathbf{WF}(A)}\,\big) \]となるようにとれる. そこで \(c=b\cap\mathbf{WF}(A)\) とすれば, 補題2により \(c\in\mathbf{WF}(A)\) なので \[ \exists c\in\mathbf{WF}(A)\forall x\in a\exists y\in c\,\phi(x,y)^{\mathbf{WF}(A)} \]すなわち \[ \big(\,\exists c\forall x\in a\exists y\in c\,\phi(x,y)\,\big)^{\mathbf{WF}(A)} \]となる. ゆえに \(\mathbf{WF}(A)\) は置換公理をみたす.

以上により \(\mathbf{WF}(A)\) は \(\mathrm{ZF}^{-}\) の推移的モデルである. ここまでの議論には \(\mathrm{AC}\) は使われていない.

集合 \(a\in \mathbf{WF}(A)\) が \(\mathbf{V}\) において整列可能だったとしよう. \(a\) の任意の整列順序づけ \(r\) について \(r\cap (a\times a)\) も \(a\) の整列順序づけであり, \(r\cap (a\times a)\in\mathcal{PPP}(a)\) なので, 補題2により \(r\cap (a\times a)\in \mathbf{WF}(A)\) である. 補題3.14によって, このとき \((r\cap (a\times a)\) は \(a\) を整列順序づけする\()^{\mathbf{WF}(A)}\). したがって, \(\mathrm{AC}\) は \((\mathrm{AC})^{\mathbf{WF}(A)}\) を導く.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年7月2日)

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