第VI章 演習問題 [17]

[玄妙基数は到達不可能であること]

まず正則基数 \(\kappa\) が玄妙基数である定義は次の通りであった.

\(\alpha < \kappa\) に対し \(A_\alpha \subset \alpha\) を満たす任意の列 \(\langle A_\alpha : \alpha< \kappa \rangle\) に対して定常集合 \(E\) が存在して \(\forall \alpha, \beta \in E (\alpha<\beta \to A_\alpha = A_\beta \cap \alpha)\) を満たす.

\(A=\bigcup_{\xi < \kappa} A_\xi\) を考えればこの条件は次の条件と同じである.

\(\alpha < \kappa\) に対し \(A_\alpha \subset \alpha\) を満たす任意の列 \(\langle A_\alpha : \alpha < \kappa \rangle\) に対して \(A\subset\kappa\) と定常集合 \(E\) が存在して \(\forall \alpha \in E (A\cap\alpha = A_\alpha)\) を満たす.

\(\kappa\) を玄妙基数とする. \(\kappa\) が強極限であることを示せば十分である. \(\kappa\) が強極限でなければ \(\lambda < \kappa\) と単射 \(j:\kappa \to \mathcal{P}(\lambda)\) が存在する. \(\alpha <\lambda\) に対して \(A_\alpha=\emptyset\), \(\lambda \le \alpha < \kappa\) に対して \(A_\alpha =j(\alpha)\) をとする. 任意の \(\lambda \le \alpha, \beta< \kappa\) に対して \(A_\alpha \neq A_\beta\) である. さらに \(A_\alpha \subset \lambda, A_\beta \subset \lambda\) なので \(\lambda \le \alpha< \beta\) のとき \(A_\beta \cap \alpha = A_\beta \neq A_\alpha\) である. 従って \(\kappa\) は玄妙基数となる条件を満たさない.

[\(\kappa\) が玄妙基数であるとき \(\diamondsuit(\kappa)\) が成り立つこと]

列 \(\langle (A_\alpha, C_\alpha) : \alpha< \kappa \rangle\) を次のように構成する.

(1) \(\alpha\) が極限順序数で \(\alpha < \kappa\) に対して \( C_\alpha \subset \alpha \) は \( \alpha \) で閉非有界で \( A_\alpha \subset \alpha\).

(2) もし (1) と \( \forall \xi \in C_\alpha(A_\alpha \cap \xi \neq A_\xi) \) を満たす対 \( (A_\alpha,C_\alpha) \) が存在すればその対を一つ選択する.

(3) \(\alpha\) が極限順序数でないか (1) (2) を満たす対が存在しない場合 \(A_\alpha=\emptyset, C_\alpha=\emptyset\).

ここだけの言葉であるが \(\alpha < \kappa\) に対する \( (A_\alpha,C_\alpha) \) が (2) を満たす場合 \(\alpha \) は「良好」であると呼ぶことにする. このとき \( \langle A_\alpha \,:\, \alpha < \kappa \rangle \) が \( \diamondsuit(\kappa)\) の条件を満たす列となるこを示す. \( A\subset \kappa \) が存在し \(C=\{\alpha< \kappa \,:\, A \cap \alpha \neq A_\alpha\} \) が \( \kappa \) で閉非有界として矛盾を導く. まず \( \alpha \in C \) とすると任意の \( \xi \in C \cap \alpha \) に対し \( A \cap \xi \neq A_\xi \). 従って \( (A \cap \alpha, C \cap \alpha) \) は (2) を満たすので \( C \) の要素はすべて「良好」であることに注意する. そして \( \kappa \) が玄妙基数であることにより, 次の条件を満たす \( B \subset \kappa, D\subset \kappa \) が存在することが分かる.

\(S = \{\alpha < \kappa \,:\, B\cap\alpha=A_\alpha \wedge D \cap\alpha=C_\alpha\}\) は \(\kappa\) の定常集合.

ところが \(\alpha<\beta\) を \(S \cap C\) の要素とすると

\(A_\beta \cap \alpha = B \cap \alpha = A_\alpha\), \(C_\beta \cap \alpha = D \cap \alpha = C_\alpha\)

が成り立つ. 従って \(C_\alpha\) が \(\alpha\) で非有界なことと \(C_\beta\) が \(\beta\) で閉じていることを考慮すると \(\alpha= \sup C_\alpha = \sup (C_\beta \cap \alpha) \in C_\beta\) が成り立つ. ところが \(\beta\) は「良好」なので \(A_\beta \cap \alpha \neq A_\alpha\) が成り立つがこれは矛盾である.

[\(\kappa\) が玄妙基数のとき \(\neg \diamondsuit^{\ast}(\kappa)\) であること]

\(\langle \mathcal{A}_\alpha : \alpha < \kappa \rangle\) を \(\diamondsuit^{\ast}(\kappa)\) -列と仮定する. 次の条件が成立する. \[ \begin{gather} \forall \alpha < \kappa (\mathcal{A}_\alpha \subset \mathcal{P(\alpha)} \wedge |\mathcal{A}_\alpha| \le |\alpha|) \tag{4} \\ \forall X \subset \kappa \exists C \in \mathrm{c.u.b}(\kappa)\, \forall \alpha \in C\,(X\cap\alpha \in \mathcal{A}_\alpha) \tag{5} \end{gather} \] (4) により \(\alpha < \kappa\) に対して \(|\mathcal{A}_\alpha| \le |\alpha|\) なので \(X_\alpha\subset \alpha\) が存在して \(X_\alpha \notin \mathcal{A}_\alpha\) が成り立つ. \(\kappa\) が玄妙基数なので \(X\subset\kappa\) と定常集合 \(E\) が存在して \(\forall \alpha \in E(X \cap \alpha = X_\alpha)\) が成り立つ. したがって \(\alpha \in E\) に対して \(X \cap \alpha \notin \mathcal{A}_\alpha\) が成り立つが \(\kappa-E\) は閉非有界に成り得ないので (5) に反する. したがって \(\diamondsuit^{\ast}(\kappa)\) は成立しない.

(参考文献)

  1. K.J. Devlin, Constructibility, Springer-Verlag 1984. (Perspectives in Logic より PDF で入手可能)
  2. 「玄妙基数と精妙基数」 藤田 博司, 2009 年 1 月 19 日 (暫定版) (PDF)
  3. 鏡 弘道, 集合論雑記 (玄妙基数)

解答者: 鏡弘道さん (公開日: 2011年7月3日)

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