第VII章 演習問題 [B8]

(前半) \(K = \bigcup_{ n \in \omega }M_n\) とする.各 \(M_n\) が推移的であることから \(K\) は推移的である.ゆえに,\(K\) が羃集合公理を満たすためには,第IV章補題2.9.より,\(\forall x \in K \exists y \in K ( \mathcal{P}(x) \cap K \subset y)\) が成り立つことが必要である.\(\mathbb{P} \in K\) に対して \(y \in K\) を \(\mathcal{P}(\mathbb{P}) \cap K \subset y\) となるものとして取れるとする.このとき,ある \(m \in \omega\) があって,\(y \in M_{m}\) である.\(M_{m}\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルター \(G_{m}\) について \(G_{m} \in \mathcal{P}(\mathbb{P}) \cap K\) だが,\(\mathbb{P}\) がアトムをもたないから補題2.4.により \(G_{m} \notin y\) が成り立つ.これは \(y\) の取り方に反する.すなわち,\(K\) は羃集合公理を満たさない.

(後半) 各 \(n \in \omega\) に対して \(G_n\) をどんなふうに取ったとしても,\(\langle G_n : n \in \omega \rangle \in N\) と \(o(M) = o(N)\) をみたすZFCのc.t.m. \(N\) が取れると仮定して矛盾を示す.

まず,全単射 \(f \in M : \omega \longrightarrow \omega \times \omega\) をとる.\(\omega \times \omega\) の部分集合で,二項関係であって順序型が \(o(M)\) であるものを \(S\) とする.もしZFCのc.t.m.\(X\) において,\(S \in X\) であるなら[A2]で言及したのと同様に第IV章定理5.4と第I章定理7.6により \(o(M) < o(X)\) であることが示される.

\(M\) において,両立しない二元 \(p ,q \in {\mathbb{P}}\) を任意に取る. \(f“\{ n \in \omega : p \in G_n \} = S\) となるように,各 \(n \in \omega\) に対して \(G_n\) を取る.ここで,\(\langle G_n : n \in \omega \rangle \in N\) と \(o(M) = o(N)\) をみたすZFCのc.t.m. \(N\) をとる.このとき,\(f \in N \wedge \{ n \in \omega : p \in G_n \} \in N\) であるので \(S \in N\),よって \(o(M) < o(N)\) であるが,これは \(o(M) = o(N)\) に反する.

 

解答者: 田尻 翔平さん (公開日: 2012年7月4日)

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