第VII章 演習問題 [C2]

まず \(i(p)\leq i(p')\rightarrow p\leq p'\) であることを示す. \(p\not\leq p'\) と仮定する. \(\mathbb{P}\) は分離的なので, \(q\leq p \) かつ \(q\perp p'\)となる \(q\) が存在する. \(i\) は完備埋め込みなので \(i(q)\leq i(p)\) かつ \(i(q)\perp i(p')\)となるので, \(i(p)\not\leq i(p')\) でなければならない.

\(p\neq q\) の場合は, \(p\not\leq q\) ならば \(i(p)\not\leq i(q)\),\(q\not\leq p\) ならば\(i(q)\not\leq i(p)\) となり, いずれも\(i(p)\neq i(q)\) が成り立つので \(i\) は 1対1 写像となる.

\(i(\mathbb{1}_\mathbb{P})\neq\mathbb{1}_\mathbb{Q}\) とする. \(\mathbb{Q}\) は分離的なので, \(i(\mathbb{1}_\mathbb{P})\perp q\) となる \(q\) が存在する. \(q\) の\(\mathbb{P}\) への縮約を \(p\) とすると \(i(p)\) は\(q\) と両立するはずだが, \(i(p)\leq i(\mathbb{1}_\mathbb{P})\) より, \(i(\mathbb{1}_\mathbb{P})\perp q\) と矛盾する.

 

解答者: 志村さん (公開日: 2011年7月11日)

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