第VII章 演習問題 [C8]

\(f\colon\mathbb{P} \rightarrow \mathcal{A}\) と \(g\colon\mathbb{Q} \rightarrow \mathcal{B}\) をそれぞれ完備化の写像とする.

\(j\colon\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\) を次のように定義する: \(\displaystyle j(x) = \bigvee_{f(p) \leq x} g(i(p))\)

まず,\(i\) が完備埋め込みである場合を考える.\(j\) が完備埋め込みであることを示す.

(1) \(\forall x,y \in \mathcal{A} (x \leq y \rightarrow j(x) \leq j(y))\) を示す.\(x,y \in \mathcal{A}\) かつ \(x \leq y\) とする.\(\displaystyle j(x) = \bigvee_{f(p) \leq x} g(i(p)) \leq \bigvee_{f(p) \leq y} g(i(p)) = j(y)\) である.

(2) \(\forall x,y \in \mathcal{A} (x \bot y \leftrightarrow j(x) \bot j(y))\) を示す:

(2)-(a) \(x,y \in \mathcal{A}\) とする.\(x \wedge y >0\) とする.\(j(x) \wedge j(y) >0\) を示す.\(f''\mathbb{P}\) が \(\mathcal{A}\) で稠密なので,\(0 < f(r) < x \wedge y\) である \(r \in \mathbb{P}\) をとる.\(\displaystyle 0<g(i(r)) \leq \bigvee_{f(p) \leq x} g(i(p)) =j(x)\) かつ \(\displaystyle 0<g(i(r)) \leq \bigvee_{f(p) \leq y} g(i(p)) = j(y)\) であるので,\(j(x) \wedge j(y) \geq g(i(r)) > 0\) である.

(2)-(b) \(x,y \in \mathcal{A}\) とする.\(j(x) \wedge j(y) >0\) とする.\(x \wedge y >0\) を示す.仮定により \[ \bigvee_{f(p) \leq x} g(i(p)) \wedge \bigvee_{f(r) \leq y} g(i(r))=j(x)\wedge j(y) >0 \] であるから.\(f(p) \leq x \),\(f(r) \leq y \),かつ \(g(i(p)) \wedge g(i(r)) >0\) をみたす \(p,r \in \mathbb{P}\) が存在するのでそれをとる.\(g,i,f\) がそれぞれ完備埋め込みであるので, \[ g(i(p)) \wedge g(i(r)) >0 \rightarrow \neg ((i(p) \bot i(r)) \rightarrow \neg (p \bot r) \rightarrow f(p) \wedge f(r) >0 \] である.\(f(p) \leq x\) かつ \(f(r) \leq y \) から,\(x \wedge y \geq f(p) \wedge f(r) >0\) である.

(3) \(\forall b \in \mathcal{B} \exists y \in \mathcal{A} \forall x \in \mathcal{A} (0<x \leq y \rightarrow \mathcal{B}\) において \(j(x) \wedge b >0)\) を示す:

\(b \in \mathcal{B}\) とする.\(g\) が稠密埋め込みであるので,\(g(q) \leq b\) なる \(q \in \mathbb{Q}\) をとる.\(i\) は完備埋め込みなので,\(\forall p \in \mathbb{P}(p \leq r \rightarrow \mathbb{Q}\) において \(\neg (i(p) \bot q))\) なる \(r \in \mathbb{P}\) をとる.

\(\forall x \in \mathcal{A} (0<x \leq f(r) \rightarrow \mathcal{B} \) において \(j(x) \wedge b >0)\) を示せばよい.\(x \in \mathcal{A}\),\(0<x \leq f(r)\) とする.

\(\displaystyle j(x) \wedge b = \bigvee_{f(t) \leq x} \Bigl(g(i(t)) \wedge b \Bigr)\) なので,\(f(t) \leq x\) かつ \(g(i(t)) \wedge b >0\) なる \(t \in \mathbb{P}\) を見つければよい.\(f\) が稠密埋め込みであるので,\(f(v) \leq x\) なる \(v \in \mathbb{P}\) をとる.\(f(v) \wedge f(r) >0\) なので \(t \leq v , t \leq r \) なる \(t \in \mathbb{P}\) をとる.\(t \leq v\) から \(f(t) \leq f(v) \leq x\) である.\(g(i(t)) \wedge b >0\) を示せばよい.\(t \leq r\) から,\(\mathbb{Q}\) において \(\neg (i(t) \bot q)\) である.\(g\) が完備埋め込みであるので,\(g(i(t)) \wedge g(q) >0\) である.\(g(q) \leq b\) から,\(g(i(t)) \wedge b \geq g(i(t)) \wedge g(q) >0\) である.

以上より,\(j\) は完備埋め込みである.

次に,\(i\) が稠密埋め込みでもある場合を考える.\(j\) が同型写像であることを示す.

\(g,i\) が稠密埋め込みなので,合成写像 \(g \circ i\) は \(\mathbb{P}\) から \(\mathcal{B}\) への稠密埋め込みであり,\(\mathcal{B}\) は \(\mathbb{P}\) の完備化である.\(\mathcal{A}\) も \(\mathbb{P}\) の完備化であるので,第II章演習問題[18]の結果により,\(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{B}\) への同型写像 \(h\) を,\(h \circ f = g \circ i\) であるようにとる.\(h = j\) を示せばよい.

\(a \in \mathcal{A}\) とする.\(\forall p \in \mathbb{P} (f(p) \leq a \rightarrow h(f(p)) \leq h(a))\) が成り立つので,\(\displaystyle j(a) = \bigvee_{f(p) \leq a} h(f(p)) \leq h(a)\) である.すなわち,\(\forall a \in \mathcal{A} (j(a) \leq h(a))\) である.

また,ある \(a \in \mathcal{A}\) について \(h(a) \not\leq j(a)\) と仮定すると,\(0 < h(a) \wedge j(a)'\) である.\(j\) が完備埋め込みであることから[C7]の結果により \(j\) は準同型なので,\(j(a)' = j(a')\) である.しかし, \(0 < h(a) \wedge j(a)' = h(a) \wedge j(a') \leq h(a) \wedge h(a') = h(a \wedge a') = h(0) = 0\) であり矛盾するので,\(\forall a \in \mathcal{A} (h(a) \leq j(a))\) である.よって \(h = j\) である.

 

解答者: 田尻 翔平さん (公開日: 2013年7月1日)

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