第VII章 演習問題 [G2]

\(2 \leq \alpha \leq \beta \leq \omega \leq \kappa=|I|^M \) とする.\(\operatorname{Fn}(I, \alpha)\) と \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \alpha)\), \(\operatorname{Fn}(I, \beta)\) と \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \beta)\) は \(M\) においてそれぞれ同型なので,\(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \alpha)\) と \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \beta)\) から同じジェネリック拡大が得られることを示せばよい.

そのために次の命題を示す: ある半順序 \(\mathbb{S}\) が存在して,各 \(\lambda \leq \omega\) について,\(\mathbb{S}\) から \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \lambda)\) への稠密埋め込み写像が存在する.

(証明):\(\mathbb{Q} = \{ r \in \operatorname{Fn}(\omega, \omega) : \operatorname{dom}(r) \in \omega \}\) とする.各 \(\delta<\kappa\) について \(\mathbb{Q}_\delta=\mathbb{Q}\) と定める.

半順序 \(\displaystyle \mathbb{S}= \{ p \in \prod_{\delta<\kappa} \mathbb{Q_\delta} : p(\theta) \neq \emptyset \text{ なる } \theta<\kappa \text{ は有限個} \}\) を考える.

\(\mathbb{S}\) の順序は,「各 \(p, q \in \mathbb{S}\) について,\(p \leq q \Longleftrightarrow \forall \delta<\kappa (p(\delta) \leq q(\delta))\)」とすることで与える.

\(\lambda \leq \omega\) とする.各 \(\delta<\kappa\) について \(\operatorname{Fn}(\{\delta\}\times \omega, \lambda)\) は可算でアトムをもたない半順序である.そこで,[C4]の結果により,各 \(\delta<\kappa\) について稠密埋め込み写像 \(i_\delta : \mathbb{Q}_\delta \to \operatorname{Fn}(\{\delta\}\times \omega, \lambda)\) をとる.

各 \(\delta<\kappa\) について,写像 \(j_\delta : \mathbb{Q}_\delta \to \operatorname{Fn}(\{\delta\}\times \omega, \lambda)\) を,各 \(x \in \mathbb{Q}_\delta\) に対して \[ j_\delta(x)=\begin{cases} \emptyset & \text{ if } x = \emptyset \\ i_\delta(x) & \text{ otherwise } \end{cases} \] とすることで定める.

写像 \(i : \mathbb{S} \to \operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \lambda)\) を,各 \(p \in \mathbb{S}\) に対して \(\displaystyle i(p) =\bigcup_{\delta<\kappa} j_\delta(p(\delta))\) とすることで定義する.

\(i\) が稠密埋め込み写像であることを示せばよい.

(1) : \(\forall p, q \in \mathbb{S}(p \leq q \rightarrow i(p) \leq i(q))\) は明らかである.

(2) : \(\forall p, q \in \mathbb{S}(p \perp q \rightarrow i(p) \perp i(q))\) を示す.

\(\forall p, q \in \mathbb{S}(p \perp q \rightarrow \exists \delta < \kappa (p(\delta) \perp q(\delta))\) を示せばあとは明らかである.

\(p,q \in \mathbb{S}\) を \(\forall \delta < \kappa (p(\delta) \not\perp q(\delta))\) であるものとする.各 \(\delta < \kappa\) について,\(t_\delta \leq p(\delta) \wedge t_\delta \leq q(\delta)\) なる \(t_\delta \in \mathbb{Q}_\delta\) をとる.ただし,\(p(\delta) = q(\delta) = \emptyset\) である場合は \(t_\delta = \emptyset\) とする.このとき,\(\langle t_\delta : \delta < \kappa \rangle\) は \(p\) と \(q\) の共通拡大である.よって,\(\forall p, q \in \mathbb{S}(p \perp q \rightarrow \exists \delta < \kappa (p(\delta) \perp q(\delta))\) である.

(3) : \(i''\mathbb{S}\) が \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \lambda)\) において稠密であることを示す.

\(r \in \operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \lambda)\) を任意にとる.各 \(\delta < \kappa\) に対して,\(i_\delta(q_\delta) \leq (r \upharpoonright(\{\delta\} \times \omega))\) なる \(q_\delta \in \mathbb{Q}_\delta\) をとる.ただし,\((r \upharpoonright(\{\delta\} \times \omega)) = \emptyset\) である場合は \(q_\delta = \emptyset\) とする.

このとき,\(\langle q_\delta : \delta < \kappa \rangle \in \mathbb{S}\) であり,\(i( \langle q_\delta : \delta < \kappa \rangle ) \leq r\) である.よって,\(i''\mathbb{S}\) は \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \lambda)\) において稠密である.

よって,\(i\) は稠密埋め込み写像である.

ここで示した定理と定理7.11.により,\(\mathbb{S}\) と \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \alpha)\) から,\(\mathbb{S}\) と \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \beta)\) からはそれぞれ同じジェネリック拡大が得られる.よって,\(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \alpha)\) と \(\operatorname{Fn}(\kappa \times \omega, \beta)\) からは同じジェネリック拡大が得られる.

 

解答者: 田尻 翔平さん (公開日: 2013年10月14日)

この解答に不具合を発見した方はぜひご指摘ください.

演習問題一覧に戻る