第VII章 演習問題 [G9]

写像 \(i\colon\operatorname{Fn}(I,2) \rightarrow \operatorname{ro}({^I2})\) を, 各 \(p \in \operatorname{Fn}(I,2)\) に対し \(i(p) = \{ x \in {^I2} : p \subset x \}\) とすることで定める. このとき, \(i''\operatorname{Fn}(I,2)\) は \({^I2}\) の開基である. また, \(\operatorname{ro}({^I2})\) は完備ブール代数である. この \(i\) が \(\operatorname{Fn}(I,2)\) の完備化を与える写像であることを示せばよい. すなわち, この \(i\) が第II章補題3.3の条件を満たすことを示せばよい.

  1. \(\operatorname{ro}({^I2})\) の元は \({^I2}\) の正則開集合であり, \(i''\operatorname{Fn}(I,2)\) は開基であるから, いかなる(空でない)正則開集合に対しても, その部分集合で \(i''\operatorname{Fn}(I,2)\) に属するものが存在する. よって, \(i''\operatorname{Fn}(I,2)\) は \(\operatorname{ro}({^I2})\)の中で稠密である.
  2. \(p,q \in \operatorname{Fn}(I,2)\) とする. \(p \leq q\) とする. このとき, \(q \subset p\) である. \(x \in i(p)\) とする. \(q \subset p \subset x\) であるから \(x \in i(q)\) である. すなわち, \(i(p) \subset i(q)\) である.
  3. \(p,q \in \operatorname{Fn}(I,2)\) を両立しないものであるとする. \(k \in I\) を \(p(k) \neq q(k)\) なるものとする. \(i(p) \cap i(q) \neq \emptyset\) とする. \(x \in i(p) \cap i(q)\) なる \(x\) をとると, \(p(k)=x(k)=q(k)\) であることになるので矛盾である. よって, \(i(p) \cap i(q) = \emptyset\) である.

\(p,q \in \operatorname{Fn}(I,2)\) が両立するものであるとする. \(p \cup q \in \operatorname{Fn}(I,2)\) であり, \(i(p) \cap i(q) = i(p \cup q) \neq \emptyset\) である.

解答中には述べられていませんが,\(i''\operatorname{Fn}(I,2)\) のメンバーはいずれも開集合であると同時に閉集合でもある「開閉集合」(clopen set) であり,したがって正則開集合になるのです.

解答者: 田尻 翔平さん (公開日: 2014年2月23日)

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