第VII章 演習問題 [H6]

\(\mathcal{A},\mathcal{C} \in M\) かつ \(\mathcal{A},\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\omega)^M\) とする.\(\forall y \in \mathcal{C} \forall F \subset \mathcal{A} ( F \in M \wedge |F| < \omega \rightarrow |y \setminus \bigcup F| = \omega )\) とする.第II章定義2.7.の \(\mathbb{P}_\mathcal{A}\) を \(M\) において構成し,それを \(\mathbb{P}\) とする.すなわち,\(\mathbb{P} = \{ \langle s, F \rangle : s \in M \wedge F \in M \wedge s \subset \omega \wedge |s| < \omega \wedge F \subset \mathcal{A} \wedge |F| < \omega \} \in M\) とする.\(\mathbb{P}_\mathcal{A}\) の順序関係の定義は \(M\) に対して絶対的なので \(\mathbb{P}\) の順序関係の定義は第II章定義2.7.の通りにする.

第II章定義2.7.から定理2.15.までで言及されているように,\(\mathbb{P}\) は \(M\) においてc.c.c.をみたす.また,各 \(y \in \mathcal{C}, n \in \omega\) についての \(E^y_n = \{ \langle s, F \rangle \in \mathbb{P} : s \cap y \not\subset n \}\) と,各 \(x \in \mathcal{A}\) についての \(D_x = \{ \langle s, F \rangle \in \mathbb{P} : x \in F \}\) は \(M\) に属する \(\mathbb{P}\) の稠密部分集合である.

\(G\) を \(M\) 上 \(\mathbb{P}\)-ジェネリックフィルターとする.このとき,すべての \(x\in\mathcal{A}\) について \(D_x\cap G\neq0\) であり,すべての \(y\in\mathcal{C}\) と \(n\in\omega\) について \(E^y_n\cap G\neq0\) である.また,第II章定義2.9.と同様に \(d = \bigcup \{ s : \exists F ( \langle s, F \rangle \in G ) \}\) と定めると,\(d \in M[G]\) である.

最後に,\(\forall x \in \mathcal{A}( | d \cap x | < \omega ) \wedge \forall y \in \mathcal{C}( | d \cap y | = \omega )\) であることを示せばよいが,これは第II章定理2.15で言及されているのと同様にして示される.

 

解答者: 田尻 翔平さん (公開日: 2012年10月2日)

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