第VIII章 演習問題 [H1]

念のため定義を再確認すると, \(\lambda\) が特異基数のとき \(f(\lambda)=\sup\{2^\kappa\mid \kappa<\lambda\}\) とするのだった. このとき, 重要な等式 \[ 2^{\lambda} = (f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)} \] が成立する. まずはこれを証明しよう. 羃関数 \(\kappa\mapsto 2^{\kappa}\) の単調性により \(f(\lambda)\leq2^{\lambda}\) であるから, \(f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)}\leq(2^\lambda)^{\mathrm{cf}(\lambda)}=2^{\mathrm{cf}(\lambda)\cdot\lambda}=2^{\lambda}\) である. いっぽう, \(\lambda=\sum_{i<\mathrm{cf}(\lambda)}\kappa_i\), \(\kappa_i<\lambda\) と, \(\lambda\) をより小さい \(\mathrm{cf}(\lambda)\) 個の基数の和で表わしたとすると, 各 \(i\) について \(2^{\kappa_i}\leq f(\lambda)\) であるから \[ 2^{\lambda}=2^{\sum_{i<\mathrm{cf}(\lambda)}\kappa_i}=\prod_{i<\mathrm{cf}(\lambda)}2^{\kappa_i} \leq\prod_{i<\mathrm{cf}(\lambda)}f(\lambda)=(f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)} \] となって逆向きの不等号も示される.

さて本問に答えるために, \(f(\lambda)\) の成り立ちについて2とおりに場合分けする.

(A) 基数 \(2^{\kappa}\) (\(\kappa<\lambda\)) に最大値がない場合. いいかえれば \(\forall\kappa<\lambda\exists\kappa'<\lambda(2^{\kappa}<2^{\kappa'})\) である場合.

このとき, ある極限順序数 \(\alpha\) と基数の \(\alpha\)-列 \(\langle\kappa_\xi\mid\xi<\alpha\rangle\) を
  (i)  \(\eta<\xi<\alpha\) のとき \(2^{\kappa_\eta}<2^{\kappa_\xi}\),
  (ii)  \(f(\lambda)=\sup_{\xi<\alpha}2^{\kappa_\xi}\)
となるように選べる. この(i)(ii)により \(\xi\mapsto\kappa_\xi\) は狭義単調増加で, \(\{\kappa_\xi\mid\xi<\alpha\}\) は \(\lambda\) において, また, \(\{2^{\kappa_\xi}\mid\xi<\alpha\}\) は \(f(\lambda)\) において, それぞれ共終である. このとき第I章補題10.32により, \(\mathrm{cf}(\alpha)=\mathrm{cf}(\lambda)=\mathrm{cf}(f(\lambda))\) である.

(B) 基数 \(2^{\kappa}\) (\(\kappa<\lambda\)) に最大値 \(2^{\kappa_0}\) がある場合.

このとき, \(f(\lambda)=2^{\kappa_0}\) であるから, 最初に示した等式により \[ 2^{\lambda}=(f(\lambda))^{\mathrm{cf}(\lambda)}=(2^{\kappa_0})^{\mathrm{cf}(\lambda)}=2^{\kappa_0\cdot\mathrm{cf}(\lambda)}=f(\lambda) \] である. したがってケーニヒの不等式(第I章系10.41)により \(\mathrm{cf}(f(\lambda))=\mathrm{cf}(2^\lambda)>\lambda\) となる

以上をまとめると, (A)のとき \(\mathrm{cf}(f(\lambda))=\mathrm{cf}(\lambda)\) であり, (B)のとき \(\mathrm{cf}(f(\lambda))>\lambda\) かつ \(2^{\lambda}=f(\lambda)\) である. 以上の考察から(反転法により)求める結果を得る.

ここで \(f(\lambda)\) と書かれた基数は, \(2^{<\lambda}\) と書かれることが多いです. たとえばイェック本ではそうなっています.

「反転法」というのは, \(P(1)\)ならば\(Q(1)\), \(P(2)\)ならば\(Q(2)\), …, \(P(n)\)ならば\(Q(n)\) というn個の命題があり, 前件 \(P(1),P(2),\ldots,P(n)\) のどれかは必ず成立し, 後件 \(Q(1),Q(2),\ldots,Q(n)\) の2つ以上が同時に成立することがない, という状況である場合に, これらn個の「ならば」の逆が成立する, という論法のことです.

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2021年11月14日)

この解答に不具合を発見した方はぜひご指摘ください.

演習問題一覧に戻る