第VIII章 演習問題 [H6]

演習問題[H3]で存在を示した関数族 \(\mathcal{F}\subseteq {}^{\omega_1}\lambda\) を考える. \(|\mathcal{F}|\leq\lambda^+\) であることを示せば目的は果たされる.

\(\omega_1\) のc.u.b.フィルターを拡張する超フィルター \(\mathcal{U}\) を固定して考える. そこで \(\omega_1\) のc.u.b.部分集合はすべて \(\mathcal{U}\) に属し, また \(\mathcal{U}\) に属する集合はすべて \(\omega_1\) の定常部分集合である. いま \(f,g\in \mathcal{F}\) に対して \[ f\triangleleft g\leftrightarrow \{\,\alpha<\omega_1\mid f(\alpha)<g(\alpha)\,\}\in\mathcal{U} \] と定めよう. \(\mathcal{F}\) はe.d.族であるから, \(f,g\in\mathcal{F}\) かつ \(f\neq g\) のとき, \(\{\alpha<\omega_1\mid f(\alpha)=g(\alpha)\}\) は \(\omega_1\) において有界したがって非定常である. そこで \[ \{\alpha<\omega_1\mid f(\alpha)< g(\alpha)\}\cup \{\alpha<\omega_1\mid f(\alpha)> g(\alpha)\}\in\mathcal{U} \] となる. \(\mathcal{U}\) は超フィルターなので, このとき \(f\triangleleft g\) あるいは \(g\triangleleft f\) のいずれかが成立する. \(\mathcal{F}\) 上での \(\triangleleft\) の非反射律と推移律も超フィルターの性質から容易に確かめられる. こうして \(\triangleleft\) は \(\mathcal{F}\) の全順序づけである.

さて \(f,g\in\mathcal{F}\) かつ \(f\triangleleft g\) のとき, 集合 \(\{\alpha<\omega_1\mid f(\alpha)<g(\alpha)\}\) は \(\mathcal{U}\) に属するのだから \(\omega_1\) において定常である. また \(\mathcal{F}\) の選び方により, すべての \(\alpha<\omega_1\) について \(g(\alpha)<\omega_{\alpha+1}\) である. したがって前問[H5]の結果により各 \(g\in\mathcal{F}\) について \(|\{f\in\mathcal{F}\mid f\triangleleft g\}|\leq\lambda\) となっている.

全順序集合 \(\langle\mathcal{F},{\triangleleft}\rangle\) の整列部分集合 \(W\) で \(\mathcal{F}\) において共終であるものを取り出そう. それには, \(\langle\mathcal{F},{\triangleleft}\rangle\) の整列部分集合全体の族において, \(A\) が \(B\) の始切片になっているとき \(A\sqsubset B\) と定めて半順序づけし, 半順序づけ \(\sqsubset\) がツォルンの補題の条件をみたすことを確かめて, 極大な整列部分集合を取り出せばよい. このとき極大性から \(\forall f\in\mathcal{F}\exists g\in W(f\trianglelefteq g)\) となっている. 前のパラグラフの議論により, 整列集合 \(\langle W,{\triangleleft}\rangle\) においては各要素における始切片の濃度は高々 \(\lambda\) である. したがって, \(W\) 全体の順序型が \(\lambda^+\) 以下であることがわかる. 最後に \[ \mathcal{F}=\bigcup_{g\in W}\{\,f\in\mathcal{F}\mid f\trianglelefteq g\,\} \] であることに注意すれば, \(|\mathcal{F}|\leq\lambda^+\) を得る.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2021年11月13日)

この解答に不具合を発見した方はぜひご指摘ください.

演習問題一覧に戻る